Quadratische Gleichungen, Begriffe

Eine Gleichung der Form $\text{a}{\text{x}}^{\text{2}}+\text{b}\text{x}+\text{c}=\text{0}\left(\text{a}\text{,}\text{b}\text{,}\text{c}\in ℝ\text{und}\text{a}\ne \text{0}\right)$ heißt allgemeine Form der quadratischen Gleichung (Gleichung 2. Grades).

Es heißen:

Die quadratische Gleichung der Form ${\text{x}}^{\text{2}}+\text{p}\text{x}+\text{q}=\text{0}\left(\text{p}\text{,}\text{q}\in ℝ\right)$ heißt Normalform der quadratischen Gleichung.
Sie entsteht, indem die quadratische Gleichung der allgemeinen Form durch die Zahl a $\left(\text{a}\ne \text{0}\right)$ dividiert wird.

Beispiel:
$\begin{array}{l}\text{3}{\text{x}}^{\text{2}}+\text{12}\text{x}-\text{9}=\text{0}|\text{:}\text{3}\\ {\text{x}}^{\text{2}}+\text{4}\text{x}-\text{3}=\text{0}\Rightarrow p=4q=-3\end{array}$

Quadratische Gleichungen dieser Form lassen sich mithilfe der Lösungsformel lösen. In einigen Fällen lassen sich die Lösungen bereits mithilfe der quadratischen Ergänzung und der binomischen Formeln bestimmen.

Quadratische Gleichungen der Form ${\text{x}}^{\text{2}}+\text{q}=\text{0}\left(\text{q}\in ℝ\right)$ heißen reinquadratische Gleichungen. Sie besitzen kein lineares Glied px.

Beispiel:
$\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}-\text{25}=\text{0}|\text{3}\text{. binomische Formel}\\ \left(\text{x}-\text{5}\right)\left(\text{x}+\text{5}\right)=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1}}-\text{5}=\text{0}oder{\text{x}}_{\text{2}}+\text{5}=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1}}=5{\text{x}}_{\text{2}}=-\text{5}\end{array}$

Quadratische Gleichungen der Form ${\text{x}}^{\text{2}}+\text{p}\text{x}=\text{0}\left(\text{p}\in ℝ\right)$ heißen quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied q.

Beispiel:
$\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}-\text{8}\text{x}=\text{0}|\text{ausklammern}\\ \text{x}\left(\text{x}-\text{8}\right)=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1}}=0oder{\text{x}}_{\text{2}}-\text{8}=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{2}}=8\end{array}$