Spezielle Wurzelfunktion

Besonders häufig treten Funktionen mit Gleichungen der Form $y = f (x) = \sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$ auf. Die Funktion $f (x) = \sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu $y = g (x) = x^{2}$ , jedoch nur für $x \geq 0$ , da die Gleichung $g (x) = x^{2}$ keine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Zuordnung beschreibt.

Funktionen mit Gleichungen der Form $y = f (x) = \sqrt[n]{x^{m}} (x \geq 0; m, n \in ℕ; m \geq 1, n \geq 2)$ heißen Wurzelfunktionen.

Besonders häufig treten Funktionen mit Gleichungen der Form $y = f (x) = \sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$ auf. Die Funktion $f (x) = \sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu $y = g (x) = x^{2}$ , jedoch nur für $x \geq 0$ , da die Gleichung $g (x) = x^{2}$ keine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Zuordnung beschreibt.

a ist die n-te Wurzel aus c

$f (x) = \sqrt{x}$ ist nicht äquivalent zu ${[f (x)]}^{2} = x$ , da Quadrieren keine äquivalente Umformung darstellt. Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, dann erhält man nach der Quadratwurzeldefinition $| f (x) | = \sqrt{x}$ mit folgender Fallunterscheidung:
(1) $f_{1} (x) = \sqrt{x}$ , wenn $f (x) \geq 0$
(2) $f_{2} (x) = - \sqrt{x}$ , wenn $f (x) \leq 0$ .

$f_{1} (x) = \sqrt{x}$ ist die Umkehrung von $g_{1} (x) = x^{2}$ mit $x \geq 0$ ,
$f_{2} (x) = - \sqrt{x}$ ist die Umkehrung von $g_{2} (x) = x^{2}$ mit $x \leq 0$ (Bild 2).

Umkehrung der quadratischen Funktion

Stand: 2010
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