Polynome, Koeffizientenbeziehungen

Die Koeffizienten eines Polynoms
$\text{P(n)}={\text{x}}^{\text{n}}+{\text{a}}_{\text{n}-\text{1}}{\text{x}}^{\text{n}-\text{1}}+{\text{a}}_{\text{n}-\text{2}}{\text{x}}^{\text{n}-\text{2}}+\mathrm{...}+{\text{a}}_{\text{1}}\text{x}+{\text{a}}_{\text{0}}$
mit n reellen Nullstellen lassen sich als Summen, Produkte und Summen von Produkten der Nullstellen darstellen.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom mindestens eine Nullstelle.
Das Polynom ist dann durch den Linearfaktor ($\text{x}-{\text{x}}_{\text{Nullstelle}}$) ohne Rest teilbar, sodass dadurch ein Polynom n-ten Grades als Produkt aus einem Linearfaktor und einem Polynom (n – 1)-ten Grades dargestellt werden kann. Setzt man das fort, so erhält man eine Darstellung des Polynoms durch ein Produkt von Linearfaktoren.

Wenn bei einem Polynom zweiten Grades die Nullstellen ${\text{x}}_{\text{1}}$ und ${\text{x}}_{\text{2}}$ reell sind, so erhält man folgende Darstellung:
${\text{x}}^{\text{2}}\text{+ px + q = }\left({\text{x – x}}_{\text{1}}\right)\left({\text{x – x}}_{\text{2}}\right){\text{ = x}}^{\text{2}}–\left({\text{x}}_{\text{1}}{\text{+x}}_{\text{2}}\right){\text{x + x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{2}}$
Aus dem Vergleich der Koeffizienten folgt
${\text{x}}_{\text{1}}{\text{ + x}}_{\text{2}}\text{ = –p}\text{und}{\text{x}}_{\text{1}}\cdot {\text{x}}_{\text{2}}\text{ = q}$
Diese Beziehungen werden im Wurzelsatz von Vieta für quadratische Polynome zusammengefasst.

Nimmt man für Polynome dritten Grades an, dass drei reelle Nullstellen
${\text{x}}_{\text{1}}$,${\text{x}}_{\text{2}}$ und ${\text{x}}_{\text{3}}$ existieren, dann muss wieder gelten
$\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{3}}{\text{+ ax}}^{\text{2}}\text{+ bx + c = }\left({\text{x – x}}_{\text{1}}\right)\left({\text{x – x}}_{\text{2}}\right)\left({\text{x – x}}_{\text{3}}\right)\\ {\text{ = x}}^{\text{3}}\text{ – }\left({\text{x}}_{\text{1}}{\text{ + x}}_{\text{2}}{\text{ + x}}_{\text{3}}\right){\text{ x}}^{\text{2}}\text{+ }\left({\text{x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{2}}{\text{ + x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{3}}{\text{ + x}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{3}}\right){\text{ x + x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{3}}\end{array}$
woraus sich durch Koeffizientenvergleich die Beziehungen
${\text{x}}_{\text{1}}{\text{+ x}}_{\text{2}}{\text{+ x}}_{\text{3}}\text{ = –a}{\text{, x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{2}}{\text{ + x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{3}}{\text{+ x}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{3 }}\text{= b}\text{und}{\text{x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{3}}\text{= –c}$
ergibt.

Man kann vermuten, dass die Koeffizienten aus Summen, Produkten und Summen von Produkten von Nullstellen darstellbar sind.
Diese Vermutung ist für beliebige Polynome beweisbar.