- Lexikon
- Mathematik
- 6 Funktionen
- 6.3 Lineare Funktionen
- 6.3.2 Funktionen mit der Gleichung y = m · x + n
- Funktionen, y = mx + n
Zusammenhänge, bei denen zwar ein gleichmäßiges (proportionales) Wachsen oder Abnehmen einer Größe erfolgt, der Ausgangswert aber von null verschieden ist, können durch Funktionen mit einer Gleichung der Form y = f(x) = mx + n beschrieben werden (Bild 1).
Beispiele:
Graphen mit der Gleichung y = mx + n
Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.
Eine Funktion der Form y = n, d. h. y = mx + n mit m = 0, heißt konstante Funktion. Der Graph einer konstanten Funktion mit
y = n ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand n (Bild 2).
Für Funktionen mit der Gleichung y = f (x) = mx + n gilt:
Die einfachste Möglichkeit, den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, ist das Verwenden von Werten aus einer Wertetabelle. Dabei sollte man leicht errechenbare Werte und im Interesse der Zeichengenauigkeit nicht zu nah beieinanderliegende Werte verwenden.
Konstante Funktion
Beispiel:
Gleichung: y = 0,5x + 1
Wertetabelle:
x | – 2 | 0 | 2 | 4 |
y | 0 | 1 | 2 | 3 |
Der Graph der Funktion ist in Bild 3 dargestellt.
y = 0,5x + 1
Man kann zum Zeichnen auch ein Steigungsdreieck und den Schnittpunkt mit der y-Achse (0; n) nutzen.
Beispiel:
Es ist der Graph der Funktion ist zu zeichnen.
Der Punkt (0; –1) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Von diesem Punkt aus wird das Steigungsdreieck (um 2 Einheiten nach rechts und um 3 Einheiten nach unten) angetragen (Bild 4).
Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu ermitteln, wird in die Funktionsgleichung für y = 0 eingesetzt und die entstehende Bestimmungsgleichung nach x aufgelöst.
Beispiel:
Gesucht ist die Nullstelle der Funktion mit
Es ist , also und damit .
Antwort: Die Nullstelle der Funktion ist
y=−32x−1
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