Funktionsgleichung, Ermitteln

Eine lineare Funktion ist durch zwei ihrer Wertepaare bzw. durch zwei Punkte ihres Graphen eindeutig bestimmt.

Ist eines des gegebenen Wertepaare das Paar (0; 0), verläuft der Graph der Funktion also durch den Koordinatenursprung, so ist das Ermitteln der Gleichung besonders einfach.

1. Weg:
Da der Graph die y-Achse an der Stelle 0 schneidet, hat der Parameter n in der Gleichung y = f ( x ) = m x + n den Wert null. Es gilt also y = m x und damit m = y x . Mithilfe der Koordinaten (x; y) eines zweiten gegebenen Punktes des Graphen lässt sich damit m berechnen, da diese Koordinaten die Gleichung y = f ( x ) = m x + n erfüllen müssen.

Beispiele:
Der Graph einer lineare Funktion verlaufe
a) durch den Koordinatenursprung und den Punkt P 1 ( 2 ; 4 ) ;
b) durch den Koordinatenursprung und den Punkt P 2 ( 3 ; 4 ) .
Es ist jeweils die Gle ichung der Funktion aufzustellen (Bild 1).

a) Aus m = y x folgt m = 4 2 = 2 . Damit gilt:
y = f ( x ) = 2 x
b) Aus m = y x folgt m = 4 3 = 4 3 . Damit gilt:
y = f ( x ) = 4 3 x

Graphen durch den Koordinatenursprung

Graphen durch den Koordinatenursprung

2. Weg:
Wir tragen in den durch die zwei Punkte gegebenen Graphen der Funktion ein Anstiegsdreieck ein und berechnen aus dessen Kathetenlängen (zumindest näherungsweise) das Verhältnis m = y x .
Bezogen auf obige Beispiele ergibt sich somit aus dem Bild 1:
a) m = 4 2 = 6 3 = 2,  also  y = f ( x ) = 2 x
b) m = 4 3 = 4 3 = 4 3 ,  also  y = f ( x ) = 4 3 x

Der durch zwei Punkte eindeutig bestimmte Graph einer linearen Funktion verlaufe nicht durch den Koordinatenursprung.

Beispiel:
P 1 ( 2 ; 5 ) und P 2 ( 2 ; 1 ) seien zwei Punkte des Graphen der linearen Funktion y = f(x) = mx + n. Es ist die Gleichung der Funktion aufzustellen.

1. Weg:
Aus dem Bild 2 ist zu entnehmen, dass die Gerade die y-Achse an der Stelle 2 schneidet. Also ist n = 2 und damit y = f ( x ) = m x + 2 . Der Wert von m kann wiederum unter Verwendung der Kathetenlängen eines Anstiegsdreiecks ermittelt werden. In unserem Fall gilt:
m = 3 : 2 = 3 2
Auch eine andere Überlegung ist möglich: Die Koordinaten von P 1 (und auch von P 2 ) müssen die Gleichung von f erfüllen. Es gilt also 5 = m 2 + 2 , woraus man ebenfalls m = 3 2 erhält.
Die Gleichung der Funktion f lautet somit y = f(x) = x + 2.

y=23x+  2

y=23x+  2

2. Weg:
Die Koordinaten von P 1 und von P 2 müssen die Gleichung
y = mx + n erfüllen.
P 1 ( 2 ; 5 ) in y = mx + n eingesetzt liefert:
I. 5 = 2m + n
P 2 ( 2 ; 1 ) in y = mx + n eingesetzt liefert:
II. –1 = –2m + n
Man erhält ein lineares Gleichungssystem, das z. B. durch das Additionsverfahren gelöst werden kann:
I . 5 = 2 m + n I I . 1 = 2 m + n ¯ I . + I I . 4 = 2 n i n  I . 5 = 2 m + 2 2 = n 3 = 2 m 3 2 = m

Antwort: y = 3 2 x + 2 ist die Funktionsgleichung.
Das im Beispiel dargestellte Verfahren, allgemein auf zwei Punkte
P 1 ( x 1 ; y 1 ) und P 2 ( x 2 ; y 2 ) angewandt, führt zu:
I . y 1 = m x 1 + n I I . y 2 = m x 2 + n
Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, um n zu eliminieren, so ergibt sich:
y 1 y 2 = m x 1 m x 2 = m ( x 1 x 2 )

Allgemein: Ist f eine lineare Funktion mit dem Anstieg m, so gilt für
x 1 x 2 : m = ( y 1 y 2 ) ( x 1 x 2 ) = f ( x 1 ) f ( x 2 ) x 1 x 2

Mit diesem Satz kann der Anstieg m einer Funktion sofort ermittelt werden und lässt sich dann n errechnen.

Beispiel:
Gesucht: Funktionsgleichung
Gegeben: P 1 ( 3 ; 5 ) ; P 2 ( 6 ; 7 ) als Punkte des Graphen einer linearen Funktion mit y = mx + n (Bild 3)
Lösung: m = ( 5 7 ) ( 3 6 ) = 2 3 = 2 3 y = 2 3 x + n
Werte z. B. von P 1 ( 3 ; 5 ) eingesetzt:
5 = 2 3 3 + n 5 = 2 + n 3 = n
Antwort: y = 2 3 x + 3 ist die Funktionsgleichung.

y=23x+3

y=23x+3

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