Grundgesamtheiten und Stichproben

Beispiele für Grundgesamtheiten (und sich darauf beziehende Zufallsgrößen) wären so die Menge

1. aller wahlberechtigten Bürger eines Bundeslandes
   (Zufallsgröße X: Anzahl der Bürger, die Wähler einer
   bestimmten Partei sind);
2. aller Bäume eines Waldgebietes
   (Zufallsgröße X: Anzahl der Bäume, die Schädigungen durch Umwelteinflüsse aufweisen);
3. aller Artikel einer bestimmten Sorte aus der Tagesproduktion einer Firma
   (Zufallsgröße X: Anzahl der unbrauchbaren Artikel);
4. aller Erdbeben im Zeitraum von 100 Jahren in einem bebenintensiven Gebiet
   (Zufallsgröße X: Anzahl der Beben ab einer bestimmten Stärke);
5. aller Unfälle im Straßenverkehr innerhalb einer Stadt
   (Zufallsgröße X: Anzahl der betroffenen Fußgänger).

Bei statistischen Untersuchungen ist es im Allgemeinen aus praktisch-organisatorischen Gründen nicht möglich oder aus Kostengründen nicht erwünscht, eine interessierende Grundgesamtheit vollständig zu untersuchen. Man denke beispielsweise an

1. Wahlprognosen, die selbstverständlich nicht die Wahl vorwegnehmen bzw. ersetzen können;
2. Qualitätsprüfungen, die nicht zerstörungsfrei bzw. ohne Folgeschäden bleiben (wie Untersuchungen von Materialien auf Elastizität).

Aufgabe der Beurteilenden Statistik ist es deshalb vielmehr, aus Eigenschaften von Teilmengen einer Grundgesamtheit (wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung des statistisch interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit unbekannt ist) die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten statistisch interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit zu schätzen und die Signifikanz des Schätzwertes zu beurteilen.

• Defínition: Eine aus einer Grundgesamtheit (im Allgemeinen zufällig – „auf gut Glück“) ausgewählte (Teil-)Menge mit n Elementen heißt Stichprobe.
  Die Elemente $X_1,X_2,\mathrm{...},X_n$ der Stichprobe sind Zahlenwerte der Zufallsgröße X. Die Anzahl n der Elemente gibt den Umfang der Stichprobe (kurz als Stichprobenumfang bezeichnet) an.
  Jedes einzelne Element der Stichprobe heißt Stichprobenwert.

Um aus Eigenschaften der Stichprobe mit einer gewissen Sicherheit auf Eigenschaften der Grundgesamtheit schließen zu können, muss die Stichprobe charakteristisch – man sagt repräsentativ – für die Grundgesamtheit sein.

Eine Stichprobe gilt als repräsentativ, wenn sie annähernd so wie die Grundgesamtheit zusammengesetzt und ihr Umfang hinreichend groß ist. Darüber hinaus müssen die interessierenden Eigenschaften der Elemente der Stichprobe quantifizierbar, also zahlenmäßig erfassbar und beschreibbar sein.

Das Erfassen und Beschreiben der Grundgesamtheit bzw. der Stichprobe übernimmt die Beschreibende Statistik. Die Untersuchung der Stichprobe mithilfe von Schätz- und Testverfahren (einschließlich Entscheidungen und Angaben zu deren Zuverlässigkeit) leistet die Beurteilende Statistik.

Der erste wichtige Schritt einer Untersuchung ist die genaue Festlegung bzw. Kennzeichnung der Grundgesamtheit.
Der zweite Schritt besteht in der Planung der Zusammensetzung der Stichprobe.

Um Repräsentativität zu erreichen, dürfen Zusammensetzung und Umfang der Stichprobe nicht dem Zufall überlassen bleiben; das Ermitteln ihrer einzelnen Elemente dagegen erfolgt zufällig. Für einen hinreichend großen Stichprobenumfang gibt der sogenannte Auswahlsatz a eine Orientierung. Es gilt:
Auswahlsatz a =$\frac{UmfangnderStichprobe}{UmfangNderGrundgesamtheit}$ · 100 %

Der Umfang der Grundgesamtheit N muss ggf. geschätzt werden.
Für den Auswahlsatz a existieren empirisch gewonnene Erfahrungswerte. Diese Werte variieren z.B. in Abhängigkeit von der Zusammensetzung einer Stichprobe sowie der Art des Sachgebietes der Grundgesamtheit. Als ein grober Richtwert kann a = 10 % angesehen werden.

In der statistischen Praxis sind allerdings sowohl erheblich kleinere a-Werte (z.B. $a<1\%$ bei Wahlprognosen) als auch erheblich größere Werte (z.B. $a>20\%$ bei Qualitätskontrollen) zu finden. Dies hat seinen Grund in entsprechenden jahrzehntelangen Erfahrungen (Wahlprognosen) oder ständig wechselnder Spezifik und daher fehlender Erfahrung (Qualitätskontrollen) bei der Zusammensetzung von Stichproben aus dem jeweiligen Sachgebiet.

Bei einer geeigneten Zusammensetzung der Stichprobe gilt: Je größer der Auswahlsatz, desto sicherer die Repräsentativität der Stichprobe.