Signifikanztests

Nullhypothese bei einem Signifikanztest

Bei einem Signifikanztest wählt man diejenige Hypothese als Nullhypothese, bei welcher der Fehler 1. Art – in Abhängigkeit vom konkreten Sachverhalt – von größerer Bedeutung ist als der (im Allgemeinen nicht eindeutig zu berechnende) Fehler 2. Art.

Das Formulieren einer„zahlenmäßig konkreten“ Alternativ- bzw. Gegenhypothese ist (z. B. aufgrund fehlender Angaben oder Erfahrungen bzw. aus rein mathematischen Gründen) im Allgemeinen nicht möglich.

Für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art ist eine möglichst kleine Zahl $\left(0<\alpha <1\right)$ als Höchstwert vorzugeben oder zu wählen. Diese Zahl heißt Signifikanzniveau $\alpha$ oder auch Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$. Bei praktischen Anwendungen setzt man zumeist $\alpha$ = 0,05 oder $\alpha$ = 0,01. Wird anhand einer Stichprobe vom Umfang n auf einem bestimmten Signifikanzniveau $\alpha$ entschieden, ob die Nullhypothese abgelehnt werden kann oder nicht, so spricht man von einem signifikanten (Test-)Ergebnis (Unterschied).

Sprechen sowohl (sehr) große als auch (sehr) kleine Werte der Zufallsgröße X (welche die absolute Häufigkeit kennzeichnet, mit der ein bestimmtes Merkmal bei n Beobachtungen auftrtitt) gegen die Nullhypothese, so ist der Signifikanztest ist als zweiseitiger Signifikanztest zu konstruieren.

Bei einem zweiseitigen Signifikanztest wird $\overline{A}=\left\{0;1;\mathrm{....};k_L\right\}\cup \left\{k_R;k_R+1;\mathrm{...};n\right\}$ der zweiseitige Ablehnungsbereich. Er setzt sich aus der Vereinigung zweier Mengen (einer „linken“ und einer „rechten“ Teilmenge) zusammen. Man bezeichnet $k_L$ als die linke und $k_R$ als die rechte Signifikanzgrenze im Ablehnungsbereich. Der Wert $k_L$ ist der größte, $k_R$ der Wert der kleinste X-Wert im jeweiligen Teilbereich des Ablehnungsbereiches. Die Werte $k_L$ und $k_R$ sind durch das Signifikanzniveau $\alpha$ festgelegt.

Ihrer Berechnung liegt folgende Überlegung zugrunde:
Da die Gegenhypothese $H_1$ nicht „zahlenmäßig konkretisiert“ worden ist (also lediglich „verschieden von“ ausdrückt) und die sich ergebenden zwei Teilbereiche die gleiche statistische Sicherheit besitzen sollen, muss sowohl für den linken Bereich als auch für den rechten Bereich das Signifikanzniveau gleichwertig eingehen. Diese Gleichwertigkeit erfordert die jeweilige Zuordnung von $\frac{\alpha }{2}$, also das Halbieren von $\alpha$.

Signifikanzgrenze eines zweiseitigen Signifikanztests

Bei einem zweiseitigen Signifikanztest ist der vorgegebene $\alpha$-Wert zu halbieren.
Der „linke“ Wert $k_L$ ist als diejenige größte ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt:
$P\left({\overline{A}}_{p_0}\right)=P\left(X\le k_L\right)=B_{n;p_0}\left(\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}{\text{k}}_{\text{L}}\right\}\right)\le \frac{\alpha }{2}$
Der „rechte“ Wert $k_R$ ist als diejenige kleinste ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt:
$\begin{array}{c}P\left({\overline{A}}_{p_0}\right)=P\left(X\ge k_R\right)=B_{n;p_0}\left(\left\{{\text{k}}_{\text{R}}\text{;}{\text{k}}_{\text{R}}\text{+1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}\text{n}\right\}\right)\\ =1-B_{n;p_0}\left(\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}{\text{k}}_{\text{R}}-1\right\}\right)\le \frac{\alpha }{2}\end{array}$
(Im Allgemeinen wird mit der Beziehung $B_{n;p_0}\left(\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}{\text{k}}_{\text{R}}-1\right\}\right)\ge 1-\frac{\alpha }{2}$ gearbeitet.)

Auch ein einseitiger Signifikanztest kann gerechtfertigt sein, und zwar in folgenden Fällen:

1. Wenn (allein) große Werte der Zufallsgröße X gegen die Nullhypothese sprechen, führt man einen (einseitigen) rechtsseitigen Signifikanztest mit dem (rechtsseitigen) Ablehnungsbereich $\overline{A}=\left\{k;k+1;\mathrm{...};n\right\}$ durch.
2. Wenn (allein) kleine Werte der Zufallsgröße X gegen die Nullhypothese $H_0$ sprechen, führt man einen (einseitigen) linksseitigen Signifikanztest mit dem (linksseitigen) Ablehnungsbereich $\overline{A}=\left\{0;1;\mathrm{...};k\right\}$ durch.

Beim einseitigen Signifikanztest ist der $\alpha$-Wert des Signifikanzniveaus nicht zu halbieren.
Der kritische Wert k ist jeweils nach folgendem Satz zu ermitteln:

• (Einseitiger) rechtsseitiger Signifikanztest:
  Bei vorgegebenem $\alpha$-Wert ist k als diejenige kleinste ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt:
  $\begin{array}{l}P({\overline{A}}_{p_0})=P(X\ge k)=B_{n;p_0}(\{k;k+1;\text{…;}n-1;n\})\\ =1-B_{n;p_0}(\{0;1;\text{…;}k-1;n\})\le \alpha \end{array}$
  (Im Allgemeinen wird mit der Beziehung $B_{n;p_0}\left(\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}\text{k}-1\right\}\right)\ge 1-\alpha$ gearbeitet.)
  (Einseitiger) linksseitiger Signifikanztest:
  Bei vorgegebenem $\alpha$-Wert ist k als diejenige größte ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt:
  $P\left({\overline{A}}_{p_0}\right)=P\left(X\le k\right)=B_{n;p_0}\left(\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}\text{k}-1;k\right\}\right)\le \alpha$