Alternativtests

Im konkreten Fall ist bei der Testkonstruktion in folgenden Hauptschritten vorzugehen:

1. Man legt fest, was als Nullhypothese und was als Alternativhypothese zu formulieren ist. Dabei ist zu beachten, in welchem Maße Vorsicht angebracht ist bzw. wo (ob) man größere Risiken eingehen darf.
2. Man legt den Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese fest und ermittelt daraus das zugehörige Signifikanzniveau (also den Fehler 1. Art) und den Fehler 2. Art.

Oder: Man geht man von einem vorgegebenen Signifikanzniveau aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese sowie den Fehler 2. Art.

Für die Wahrscheinlichkeit der beiden Fehler bei festgelegtem Annahme- bzw. Ablehnungsbereich für die Nullhypothese gelten folgende Aussagen:

Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art

Die summierte Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches einer Nullhypothese $\left(H_0:p=p_0\right)$ unter der Bedingung $X\sim B_{n;p_0}$ ist als Maß dafür anzusehen, wie wahrscheinlich es ist, einen Fehler 1. Art zu begehen. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird die in Wirklichkeit wahre Nullhypothese irrtümlich abgelehnt.
Es gilt: $\alpha =P\left({\overline{A}}_{p_0}\right)=B{}_{n;p_0}\left(\overline{A}\right)=1-B{}_{n;p_0}\left(A\right)$

Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art

Die summierte Wahrscheinlichkeit des Annahmebereiches einer Nullhypothese $\left(H_0:p=p_0\right)$ unter der Bedingung $X\sim B_{n;p_1}$ ist als Maß dafür anzusehen, wie wahrscheinlich es ist, einen Fehler 2. Art ( $\beta$-Fehler) zu begehen. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird die in Wirklichkeit falsche Nullhypothese irrtümlich nicht abgelehnt.
Es gilt: $\beta =P\left(A_{p_1}\right)=B{}_{n;p_1}\left(A\right)=1-B{}_{n;p_1}\left(\overline{A}\right)$

Für einen festen Stichprobenumfang n lässt sich feststellen:

1. Je kleiner man den Ablehnungsbereich $\overline{A}$ wählt, desto kleiner wird auch die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
2. Je kleiner man den Annahmebereich A wählt, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
3. Bei festen Werten für $p_0$ (Nullhypothese) und $p_1$ (Alternativhypothese) bewirkt jede Verkleinerung der Wahrscheinlichkeit $\alpha$ eine Vergrößerung der Wahrscheinlichkeit $\beta$.

In Abhängigkeit vom konkreten Sachverhalt ist abzuwägen, für welchen Fehler die Wahrscheinlichkeit möglichst klein bleiben soll. Müssen möglichst beide Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen klein bleiben, dann ist dies nur mit einer Vergrößerung des Stichprobenumfangs erreichbar.

Dabei gilt: Vergrößert man den Stichprobenumfang n, so wird die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und 2. Art verkleinert. Die Sicherheit für die zu treffende Entscheidung wächst.

Geht man umgekehrt von einem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$ aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese, so ist noch die Unterscheidung zwischen einem (einseitigen) rechtsseitigen Alternativtest und einem (einseitigen) linksseitigen Alternativtest zu beachten:

Ein (einseitig) rechtsseitiger Test ist angebracht, wenn große Werte von X gegen die Nullhypothese $H_0$ somit für die Alternativhypothese $H_1$ sprechen. Gilt für die Zufallsgröße X also $X=\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}\text{k}-1;k;k+1;\mathrm{...};n-1;n\right\}$, so ist der Ablehnungsbereich $\overline{A}=\left\{k;k+1;\mathrm{...};n-1;n\right\}$.

Beim (einseitigen) linksseitigen Test (kleine Werte von X sprechen gegen die Nullhypothese $H_0$ und somit für die Alternativhypothese $H_1$) wäre der Ablehnungsbereich $\overline{A}=\left\{0;1;\mathrm{...};k-1;k\right\}$.

Ermitteln des kritischen Werts X = k bei vorgegebenem Signifikanzniveau $\alpha$

(Einseitiger) rechtsseitiger Alternativtest:
Bei vorgegebenem $\alpha$-Wert ist k als diejenige kleinste ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt:
$\begin{array}{c}P\left({\overline{A}}_{p_0}\right)=P\left(X\ge k\right)=B_{n;p_0}\left(\left\{k;k+1;\mathrm{...};n-1;n\right\}\right)\\ =1-B_{n;p_0}\left(\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}\text{k}-1\right\}\right)\le \alpha \end{array}$
(Im Allgemeinen wird mit der Beziehung $B_{n;p_0}\left(\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}\text{k}-1\right\}\right)\ge 1-\alpha$ gearbeitet.)

(Einseitiger) linksseitiger Alternativtest:
Bei vorgegebenem $\alpha$-Wert ist k als diejenige größte ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt:
$P\left({\overline{A}}_{p_0}\right)=P\left(X\le k\right)=B_{n;p_0}\left(\left\{\text{0}\text{;}\text{1}\text{;}\mathrm{...}\text{;}\text{k}-1;k\right\}\right)\le \alpha$