Gleichverteilungen

Auf seinen Erkenntnissen fußend definiert man:

• Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments mit endlicher Ergebnismenge $\Omega =\left\{e_1,e_2,\mathrm{...,}{e}_n\right\}$ heißt Gleichverteilung, wenn alle zugehörigen atomaren Ereignisse $\left\{e_i\right\}$ die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, d.h., wenn gilt: $P\left(\left\{e_1\right\}\right)= \left(\left\{e_2\right\}\right)=\mathrm{...}=P\left(\left\{e_n\right\}\right)=\frac{1}{n}$

Zufallsexperimente mit Gleichverteilung heißen LAPLACE-Experimente.

Dieser definitorische Zugang über den mathematischen Begriff Zufallsexperiment erweist sich nicht immer als zweckmäßig. Einfacher zu handhaben ist vielfach eine Definition, die sich auf den mathematischen Begriff Zufallsgröße stützt.

• Eine endliche Zufallsgröße
  $X\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \mathrm{...}& x_n\\ p_1& p_2& \mathrm{...}& p_n\end{array}\right)$
  heißt gleichverteilt, wenn sie jeden ihrer Werte $x_i$ mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annimmt, d.h. wenn gilt: $p_1=p_2=\mathrm{...}=p_n=\frac{1}{n}$

Eine (diskrete) gleichverteilte Zufallsgröße kann also nur endlich viele Werte annehmen und alle diese Werte haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Eine Gleichverteilung aus abzählbar unendlich vielen Werten kann es offensichtlich nicht geben.

Gleichverteilungen für diskrete Zufallsgrößen

Eine diskrete Gleichverteilung kann durch folgendes Urnenmodell beschrieben werden.
Einer Urne mit genau n (von 1 bis n durchnummerierten, aber ansonsten nicht unterscheidbaren) Kugeln wird „auf gut Glück“ genau eine Kugel entnommen.
Unter der Zufallsgröße X soll die zufällige Nummer der herausgegriffenen Kugel verstanden werden.
Es gilt:
$X\stackrel{\wedge}{=}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \mathrm{...}& n\\ \frac{1}{n}& \frac{1}{n}& \mathrm{...}& \frac{1}{n}\end{array}\right)$

Aus der grafischen Darstellung einer gleichverteilten Zufallsgröße X und ihrer Verteilungsfunktion F erkennt man, dass zwar die Ordinatenwerte $P\left(X=x_i\right)$ bzw. die Differenzen $F\left(x_i\right)-F\left(x_{i-1}\right)$ alle gleich $\frac{1}{n}$ sind, die Differenzen der Abszissenwerte $x_i-x_{i-1}$ aber durchaus nicht gleich sein müssen (i = 1; 2; ...; n).

Der Erwartungswert einer diskreten gleichverteilten Zufallsgröße X ergibt sich als arithmetisches Mittel der Werte $x_i$, d.h. es gilt:
$EX=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}$

Für die Streuung (bzw. Varianz) folgt somit:
$D^{2}X=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{}^2}-{\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}\right)}^2$

Für den Spezialfall des oben angegebenen Urnenmodells lassen sich die beiden Kenngrößen der Gleichverteilung folgendermaßen vereinfachen:
$\begin{array}{l}EX=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i}=\frac{1}{n}\cdot \frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n+1}{2}\\ D^{2}X=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{i}^2}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2=\frac{n^2-1}{12}\end{array}$

Gleichverteilungen für stetige Zufallsgrößen

Die über die diskrete Gleichverteilung gemachten Aussagen können auf stetige Zufallsgrößen ausgedehnt werden.

• Eine stetige Zufallsgröße X heißt gleichverteilt über dem Intervall $\left[a;b\right]\left(mita<b\right)$, wenn für ihre Dichtefunktion f gilt:
  $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& \text{für}a\le x\le b\\ 0& sonst\end{array}$

Eine über einem Intervall gleichverteilte (stetige) Zufallsgröße bezeichnet man auch als Zufallsgröße mit einer Rechtecksverteilung oder mit einer (stetigen) gleichmäßigen Verteilung. Für die Verteilungsfunktion F gilt:
$\begin{array}{c}F\left(x\right)=P\left(X<x\right)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)}dt\\ =\frac{1}{b-a}{\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}dt}=\frac{1}{b-a}\left[t\right]\begin{array}{c}x\\ a\end{array}=\{\begin{array}{cc}0& \text{für}x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& \text{für}a\le x<b\\ 1& \text{für}b\le x\end{array}\end{array}$

Der Graph der Dichtefunktion f und der der Verteilungsfunktion F sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Die Kenngrößen Erwartungswert und Streuung (bzw. Varianz) der stetigen Gleichverteilung ergeben sich wie folgt:
$EX=\frac{a+b}{2}\text{;}{D}^{2}X=\frac{{\left(b-a\right)}^2}{12}$