Integrationsregeln

Potenzregel

$\begin{array}{l}{\displaystyle \int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}}{x}^{n+1}+C\\ \left(mitn\in \mathbb{Z},n\ne -1sowiezusätzlichx\ne \mathrm{0,}fallsn<-1\right),C\in ℝ\end{array}$

Der Fall n = -1 muss gesondert untersucht werden, da wir keine Potenzfunktion kennen, deren Ableitung $\frac{1}{x}=x^{-1}$ ist. Außerdem wäre der Term für n = -1 nicht erklärt. Diese Regel kann auch auf Potenzen mit reellen Exponenten erweitert werden.

Erweiterte Potenzregel

Für die Potenzfunktion $f\left(x\right)=x^{q}mitq\in ℝ,q\ne -1undx>0gilt:$
${\displaystyle \int x^{q}dx=\frac{1}{q+1}}{x}^{q+1}+C\left(C\in ℝ\right)$

Faktorregel

${\displaystyle \int k\cdot f\left(x\right)}dx=k\cdot {\displaystyle \int f\left(x\right)dx}\left(k\in ℝ\right)$
Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren erhalten.

Beweis:
Die Faktorregel ist einen Äquivalenzaussage.
Der Beweis muss deshalb „in beiden Richtungen“ geführt werden.
F sei eine Stammfunktion von f, d.h., es ist F' = f bzw. ${\displaystyle \int f\left(x\right)}dx=F\left(x\right)+C$.

a) Für $k\in ℝgilt{\displaystyle \int k\cdot f\left(x\right)}dx=k\cdot F\left(x\right)+C$, denn nach den entsprechenden Regeln der Differenzialrechnung ist $\left[k\cdot F\left(x\right)+C\right]\text{'}=k\cdot F\text{'}\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)$.

Da F eine Stammfunktion von f ist, also abgesehen von einer additiven Konstanten $k\cdot F\left(x\right)={\displaystyle \int k\cdot f\left(x\right)dx}$ gilt, folgt ${\displaystyle \int k\cdot f\left(x\right)dx}=k\cdot {\displaystyle \int f\left(x\right)}dx$.

b) Für $k\in ℝgiltk\cdot {\displaystyle \int f\left(x\right)}dx=k\cdot \left[F\left(x\right)+C\right]=k\cdot F\left(x\right)+k\cdot C$.

Wegen $C\in ℝundk\in ℝistauchk\cdot C=C*\in ℝ$ und $k\cdot F\left(x\right)+C*={\displaystyle \int k}\cdot f\left(x\right)dx$, denn $\left[k\cdot F\left(x\right)+C*\right]\text{'}=k\cdot F\text{'}\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)$.
w.z.b.w.

Summenregel

${\displaystyle \int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]}dx={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx$
Summen und Differenzen können gliedweise integriert werden.

Der Beweis kann unter Verwendung der Summenregel der Differentialrechnung geführt werden.

Faktor- und Summenregel lassen sich auch zu einer Regel zusammenfassen:

${\displaystyle \int \left[k_1\cdot f_1\left(x\right)+k_2\cdot f_2\left(x\right)+\mathrm{...}{k}_n\cdot f_n\left(x\right)\right]}dx=k_1{\displaystyle \int f_1\left(x\right)dx}+k_2{\displaystyle \int f_2\left(x\right)dx}+\mathrm{...}+k_n{\displaystyle \int f_n\left(x\right)dx}$

Für das Ermitteln komplizierterer unbestimmter Integrale stehen weitere Integrationsverfahren wie z.B. die Integration durch lineare und nichtlineare Substitution, das Verfahren der partiellen Integration oder der Integration durch Partialbruchzerlegung zur Verfügung.

Formelsammlungen enthalten überdies oftmals Tafeln mit den Integralen schwierig zu berechnender Funktionen.