Partielle Integration

Für die Ableitung eines Produktes von Funktionen f ( x ) = u ( x ) v ( x ) gilt:
f ' ( x ) = u ( x ) v ' ( x ) + u ' ( x ) v ( x )

Integriert man auf beiden Seiten, so folgt nach der Summenregel der Integralrechnung
f ' ( x ) d x = f ( x ) = u ( x ) v ' ( x ) d x + u ' ( x ) v ( x ) d x b z w . u ( x ) v ( x ) = u ( x ) v ' ( x ) d x + u ' ( x ) v ( x ) d x       

Somit lässt sich der folgende Satz formulieren:

  • Sind u und v im Intervall [ a ; b ] differenzierbare Funktionen sowie u ' und v ' im Intervall stetig, so gilt
    u ( x ) v ' ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) u ' ( x ) v ( x ) d x .

Die auf diesem Satz fußende Integrationsmethode nennt man „partielle Integration“, um anzudeuten, dass ein Restintegral bleibt, d.h., man integriert nur teilweise – nur partiell.
Dieses Restintegral ist entweder ein bekanntes Grundintegral oder es muss weiter evtl. abermals partiell integriert werden.

Beispiel 1:

x sin x d x =

Für diesen Integranden findet sich keine geeignete Substitution. Wendet man die partielle Integration an, muss man entscheiden, welchen der beiden Faktoren im Integranden man für u und welchen man für v´ einsetzt.

Setzt man u ( x ) = x u n d v ' ( x ) = sin x , s o f o lg t m i t u ' ( x ) = 1 u n d v ( x ) = cos x nach obiger Formel:
x sin x d x = x cos x ( cos x ) d x = x cos x + sin x + C

Hätte man
u ( x ) = sin x u n d v ' ( x ) = x g e s e t z t , s o w ü r d e m i t u ' ( x ) = cos x u n d v ( x ) = x 2 2 f o lg e n :
x sin x d x = x 2 2 sin x x 2 2 cos x d x

Das hierbei entstandene Restintegral ist komplizierter als das bei der ersten Ersetzung. Es ist also wichtig, eine geschickte Zuordnung zu den Ausdrücken in der Formel vorzunehmen.

Beispiel 2:

x 2 e x d x =

Hierfür erhält man mit u ( x ) = x 2 u n d v ' ( x ) = e x , also u ' ( x ) = 2 x u n d v ( x ) = e x zunächst x 2 e x d x = x 2 e x 2 x e x d x .

Es wird eine weitere partielle Integration notwendig.
Man setzt u ( x ) = 2 x u n d v ' ( x ) = e x , a l s o u ' ( x ) = 2 u n d v ( x ) = e x , womit insgesamt folgt:
x 2 e x d x = x 2 e x 2 x e x + 2 e x + C

Beispiel 3:

π 2 3 π 2 x cos x d x =
Man setzt u ( x ) = x u n d v ' ( x ) = cos x , a l s o u ' ( x ) = 1 u n d v ( x ) = sin x .

Damit ergibt sich:
π 2 3 π 2 x cos x d x = [ x sin x + cos x ] π 2 3 π 2 = 2 π

Beispiel 4:

cos 2 x d x =

Wir wenden das Verfahren der partiellen Integration an.
Mit u ( x ) = cos x u n d v ' ( x ) = cos x , a l s o u ' ( x ) = sin x u n d v ( x ) = sin x ergibt sich: cos 2 x d x = cos x sin x ( sin x ) sin x d x = cos x sin x + sin 2 x d x = cos x sin x + ( 1 cos 2 x ) d x = cos x sin x + x cos 2 x d x

Damit erhält man: 2 cos 2 x d x = cos x sin x + x b z w . cos 2 x d x = cos x sin x 2 + x 2

Unter Verwendung dieses Resultats lassen sich nun schrittweise auch die folgenden Integrale berechnen:
cos 3 x d x = cos 2 x sin x 3 + 2 3 cos x d x = cos 2 x sin x 3 + 2 3 sin x + C
cos 4 x d x = cos 3 x sin x 3 + 3 4 cos 2 x d x = cos 3 x sin x 4 + 3 8 cos x sin x + 3 8 x + C

Ausgehend von diesen Spezialfällen lässt sich folgende Rekursionsformel herleiten:
cos n x d x = cos n 1 x sin x n + n 1 n cos n 2 x d x
(mit n , n > 1 u n d c o s 0 x d x = x + C , cos 1 x d x = sin x + C )

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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