Integration durch Partialbruchzerlegung

Es soll hier der Fall betrachtet werden, dass die Nennerfunktion einfache oder mehrfache reelle Nullstellen besitzt.

Beispiel 1:

${\displaystyle \int \frac{x^3-5x^2+x+4}{x^2-7x+10}}dx=$

Der Integrand ist hier eine unecht gebrochenrationale Funktion. In einem solchen Fall ist die Funktion vor der Partialbruchzerlegung in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zu zerlegen.

Das geschieht durch Partialdivision:
$\begin{array}{l} \left(x^3-5x^2+x+4\right):\left(x^2-7x+10\right)=x+2+\frac{5x-16}{x^2-7x+10}\\ \underset{¯}{-\left(x^3-7x^2+10x\right)}\\ 2x^2-9x+4\\ \underset{¯}{-\left(2x^2-14x+20\right)}\\ 5x-16 \end{array}$

Damit folgt für den angegebenen Quotienten:
$\frac{x^3-5x^2+x+4}{x^2-7x+10}=x+2+\frac{5x-16}{x^2-7x+10 }$

Auf den echt gebrochenrationalen Anteil der Funktion wird nun folgendes Verfahren angewendet:

Die Nennerfunktion besitzt zwei reelle Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=5$.
Deshalb wählt man den Ansatz:
$\begin{array}{l}\frac{5x-16}{x^2-7x+10}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-5}\\ =\frac{A\left(x-5\right)+B\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}\\ =\frac{Ax-5A+Bx-2B}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}\\ =\frac{\left(A+B\right)x+\left(-5A-2B\right)}{x^2-7x+10}\\ \end{array}$.
Der Vergleich der Koeffizienten in den Zählern des ersten und des letzten Gliedes obigen Gesamtausdrucks führt zu dem Gleichungssystem
$\begin{array}{l}A+B=5\\ \underset{¯}{5A+2B=16}\end{array}$

mit der Lösung A = 2 und B = 3.

Somit erhält man:
$\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{x^3-5x^2+x+4}{x^2-7x+10}}dx={\displaystyle \int \left(x+2\right)dx+{\displaystyle \int \frac{2}{x-2}}}dx+{\displaystyle \int \frac{3}{x-5}}dx\\ =\frac{x^2}{2}+2x+2\ln \left|x-2\right|+3\ln \left|x-5\right|+C\end{array}$

Beispiel 2:

${\displaystyle \int \frac{7x^2-6x+3}{x^3-x^2-x+1}}dx=$

In diesem Fall hat die Nennerfunktion die einfache reelle Nullstelle $x_1=-1$ und die doppelte reelle Nullstelle $x_{2/3}=1$.

Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
$\begin{array}{l}\frac{7x^2-6x+3}{x^3-x^2-x+1}=\frac{A}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}\\ =\frac{A\left(x+1\right)+B\left(x^2-1\right)+C\left(x^2-2x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\\ =\frac{\left(B+C\right)x^2+\left(A-2C\right)x+\left(A-B+C\right)}{{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}\end{array}$

Koeffizientenvergleich führt zu dem Gleichungssystem
$\begin{array}{l} B+C=7\\ A-2C=-6\\ \underset{¯}{A-B+C=3}\end{array}$

mit der Lösung A = 2, B = 3 und C = 4.

Somit erhält man:
$\begin{array}{c} {\displaystyle \int \frac{7x^2-6x+3}{x^3-x^2-x+1}}dx={\displaystyle \int \left(\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}+\frac{3}{x-1}+\frac{4}{x+1}\right)}dx\\ =-\frac{2}{x-1}+3\ln \left|x-1\right|+4\ln \left|x+1\right|+C\end{array}$