Bestimmtes Integral als Funktion der oberen Grenze

Lässt man überdies bei der Berechnung von
${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx$
die untere Grenze a fest und verändert allein die obere Grenze b, so erhält man für jede Zahl b (b > a) eine eindeutig bestimmte Zahl.

Es entsteht eine Menge geordneter Paare
$\left(b;{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx\right)$,
die eine Funktion $\Phi \left(b\right)$ ist.

Mit anderen Worten: Das bestimmte Integral
${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx$
ist bei fester unterer Grenze a eine Funktion der oberen Integrationsgrenze.

Da es üblich ist, das Argument einer Funktion mit x (statt hier mit b) zu bezeichnen, wählen wir für die Integrationsvariable eine andere Bezeichnung, z.B. t (statt x), und erhalten
$\Phi \left(x\right)={\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}$.

• Definition: Gegeben sei eine Funktion f. Die Funktion $\Phi$, die jedem x den Wert des Integrals
  ${\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}$
  zuordnet, heißt Integralfunktion von f mit der unteren Grenze a. Der Definitionsbereich der Integralfunktion ist die Menge aller x, für die das Integral
  ${\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}$
  existiert. Man beachte den Unterschied zwischen den Begriffen Integralfunktion und Integrandenfunktion:
  $\Phi \left(x\right)={\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}$
  ist die Integralfunktion, f(t) die Integrandenfunktion (der Integrand).

Bildet man die Ableitung der Integralfunktion, so erhält man den Integranden. Die Integralfunktion $\Phi$ ist also eine Stammfunktion des Integranden f.

• Satz: Für eine im Intervall [a; b] stetige Funktion f ist die Funktion $\Phi$ mit
  $\Phi \left(x\right)={\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}$
  eine Stammfunktion von f im Intervall [a; b].

Da die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f das unbestimmte Integral dieser Funktion ist, stellt dieser Satz einen Zusammenhang ziwschen bestimmtem und unbestimmtem Integral her.

Beweis des Satzes:
Es seien f eine beliebige, im Intervall [a; b] stetige Funktion und $\Phi$ die Funktion mit
$\Phi \left(x\right)={\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}$.

1. Schritt: Wenn man zeigen will, dass $\Phi$ eine Stammfunktion von f ist, so muss man nachweisen, dass $\Phi \text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ für alle $x\in \left[a;b\right]$ gilt.

Es wird zu diesem Zweck zunächst der Differenzenquotient von $\Phi$ gebildet:
$\begin{array}{l}Fürh\ne 0und\left(x+h\right)\in \left[a;b\right]ist\\ \frac{\Phi \left(x+h\right)-\Phi \left(x\right)}{h}=\frac{{\displaystyle \underset{a}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)dt-{\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}}}{h}.\end{array}$

Nun gilt
${\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)}dt+{\displaystyle \underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt={\displaystyle \underset{a}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt,also{\displaystyle \underset{a}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt-{\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)}dt={\displaystyle \underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt.$

Deshalb folgt für den obigen Differenzenquotienten:
$\frac{\Phi \left(x+h\right)-\Phi \left(x\right)}{h}=\frac{1}{h}{\displaystyle \underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt$

2. Schritt: Wir schätzen den Differenzenquotienten nach oben ab
(Fall h > 0):

Da f eine stetige Funktion ist, existieren im Intervall $\left[x;x+h\right]$ ein kleinster Funktionswert $f\left(\underset{¯}{x}\right)$ und ein größter Funktionswert $f\left(\overline{x}\right)$. Nach der Definition des bestimmten Integrals gilt dann
$f\left(\underset{¯}{x}\right)\cdot h\le {\displaystyle \underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt\le f\left(\overline{x}\right)\cdot h,alsof\left(\underset{¯}{x}\right)\le \frac{1}{h}{\displaystyle \underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt\le f\left(\overline{x}\right).$

3. Schritt: Wir berechnen den Grenzwert des Differenzenquotienten für $h\to 0$:

Aus obiger Ungleichung folgt:
$\underset{h\to 0}{\lim }f\left(\underset{¯}{x}\right)\le \underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\displaystyle \underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt\le \underset{h\to 0}{\lim }f\left(\overline{x}\right)$ (*)

Da f stetig ist, gilt $\underset{h\to 0}{\lim }f\left(\underset{¯}{x}\right)=\underset{h\to 0}{\lim }f\left(\overline{x}\right)=f\left(x\right)$.

Somit ergibt sich aus der Ungleichung (*):
$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Phi \left(x+h\right)-\Phi \left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\displaystyle \underset{x}{\overset{x+h}{\int }}f\left(t\right)}dt=f\left(x\right)$

Zum gleichen Ergebnis gelangt man für den Fall h < 0.
Damit ist gezeigt:
$\Phi \text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$
w. z. b. w.