Simulation, Zufallsexperimente

Tabellenkalkulationen und Computeralgebrasysteme (CAS) eignen sich auch als Hilfsmittel zur Simulation realer Vorgänge. Mithilfe eines integrierten Zufallszahlengenarators ist es möglich, verschiedene Zufallsexperimente zu simulieren und mathematisch auszuwerten.

Beispiel:
Um nachzuweisen, dass die relative Häufigkeit für das Eintreten eines Ereignisses ein Maß für dessen Wahrscheinlichkeit ist, soll ein Würfel 1000-mal geworfen und das Auftreten einer „6“ registriert werden.
Anstelle die Random-Funktion 1000-mal nacheinander ausführen zu müssen, kann die Vektor-Funktion verwendet werden.
Der Befehl VECTOR(1+RANDOM(6),i,1,1000) stellt die 1000 Zufallszahlen als Liste dar (Bild 1). Nun kann die Anzahl der „gewürfelten“ Sechsen ermittelt und die relative Häufigkeit berechnet werden. Effektiver ist es aber, eine spezielle Funktion relH (relative Häufigkeiten) zu definieren, die das Eintreten einer „6“ bei 1 000 Würfen in einem Schritt ermittelt:

relH:=DIM(SELECT(x=6,x,VECTOR(1+RANDOM(6),i,1,1000)))/1000)
(Der SELECT-Befehl „sortiert“ die „gewürfelten“ Sechsen aus, der DIM-Befehl zählt sie.)

Das Ergebnis wird auch bei Wiederholung stets ein Wert um 0,17 sein. Die so ermittelte relative Häufigkeit stimmt näherungsweise mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer „6“ überein, denn nach der LAPLACE-Regel gilt:

$\text{P =}\frac{\text{Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der für das Ereignis möglichen Ergebnisse}}=\frac{\text{1}}{\text{6}}\approx \mathrm{0,16}\overline{6}$

Eingaben zur Simulation von Zufallsexperimenten mit Exel
Erzeugen einer Zufallszahl aus dem Intervall 0 $\le$ Z < 1:
= Zufallszahl ()

Erzeugen einer Zufallszahl aus dem Intervall 0 $\le$ Z < m:
= m · Zufallszahl ()

Erzeugen einer Zufallszahl aus dem Intervall 1 $\le$ Z < m:
= m · Zufallszahl () + 1

Erzeugen einer ganzzahligen Zufallszahl aus dem Intervall 1 $\le$ Z < m
(Ziehen einer von m durchnummerierten Kugeln aus einer Urne):
= GANZZAHL(m · ZUFALLSZAHL() + 1)

Erzeugen einer Zufallszahl aus einer Zweiermenge {0; 1}
(Werfen einer Münze):
= GANZZAHL(2 · ZUFALLSZAHL())

Erzeugen einer Zufallszahl aus der Sechsermenge {1; 2; 3; 4, 5; 6}
(Werfen eines Würfels):
= GANZZAHL(6 · ZUFALLSZAHL() + 1)

Die Zellenverknüpfungen sind folgendermaßen vorzunehmen:
Zelle B5: =GANZZAHL(6 * ZUFALLSZAHL() + 1)
Zelle C5: =WENN(B5 = 6; 1; 0)
Zelle D5: =C5
Zelle D6: =D5 + C6
Zelle E5: =D5/A5
Spalte E und vor allem die grafische Darstellung der relativen Häufigkeiten von Spalte E zeigen sehr anschaulich, dass sich für eine große Anzahl von Würfen ein Wert von annähernd 0,17 einstellt (Bild 3).

Mit Taste F9 kann die Versuchsreihe beliebig oft wiederholt werden. Zwar zeigt das Diagramm stets einen anderen Verlauf, letztlich aber stellt sich immer eine relative Häufigkeit um 0,17 ein.

Beispiel:
Ein häufig verwendetes Zufallsexperiment ist das Ziehen von Kugeln aus einer Urne.
Aus einer Urne mit zwölf weißen und acht schwarzen Kugeln sollen einzeln zehn Kugeln entnommen und sofort wieder zurückgelegt werden.
In Spalte A werden die Ziehungen fortlaufend gezählt und in Spalte B werden ganzzahlige Zufallszahlen der Menge {1; 20} erzeugt.
In den Spalten C und D wird erfasst, ob eine weiße bzw. eine schwarze Kugel gezogen wurde (Bild 5).

Dazu müssen folgende Zellenverknüpfungen vorgenommen werden:
Zelle B7: =GANZZAHL(($C$4 + $C$5) * ZUFALLSZAHL() + 1), dann auf B8 bis B16 kopieren

Zelle C7: =WENN(B7 <= $C$4; 1; 0), dann auf C8 bis C16 kopieren
Zelle D7: =WENN(B7 > $C$4; 1; 0), dann auf D8 bis D16 kopieren