Varianz

Zur Charakterisierung der Verteilung einer Zufallsgröße X werden neben dem Erwartungswert E ( X ) noch deren Varianz und Standardabweichung herangezogen.

Diese Größen werden analog der mittleren quadratischen Abweichung s² (der sogenannten empirischen Varianz) und Standardabweichung s bei Häufigkeitsverteilungen definiert, wobei anstelle des Mittelwertes x ¯ der Erwartungswert E ( X ) als Bezugsgröße tritt.
Gegeben sei folgende Verteilung einer Zufallsgröße X:

Wert x 1 x 2 ... p k
Wahrscheinlichkeit p 1 p 2 ... p k


Die Zahl
V ( X ) = [ x 1 E ( X ) ] 2 p 1 + [ x 2 E ( X ) ] 2 p 2 + ... + [ x k E ( X ) ] 2 p k
heißt Varianz von X.

Unter der Standardabweichung σ ( X ) wird dann die Wurzel aus der Varianz verstanden, d. h., es ist:
σ ( X ) = V ( X )

Beispiel 1 (Werfen eines idealen Würfels):
Es liegt folgende Verteilung der Zufallsgröße Augenzahl A vor:

Wert 1 2 3 4 5 6
Wahrscheinlichkeit 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6


Mit E ( A ) = 3,5 ergibt sich:
V ( A ) = ( 1 3,5 ) 2 1 6 + ( 2 3,5 ) 2 1 6 + ( 3 3,5 ) 2 1 6 + ( 4 3,5 ) 2 1 6 + ( 5 3,5 ) 2 1 6 + ( 6 3,5 ) 2 1 6 = 17,5 6 2,92
bzw.
σ ( A ) 1,71

Beispiel 2 (Werfen eines gezinkten Würfels):
Die Zufallsgröße Augenzahl A sei folgendermaßen verteilt:

Wert 1 2 3 4 5 6
Wahrscheinlichkeit t 1 18 2 18 6 18 6 18 2 18 1 18


Bei gleichem Erwartungswert E ( A ) = 3,5 wie in Beispiel 1 ergibt sich hier:
V ( A ) = ( 1 3,5 ) 2 1 18 + ( 2 3,5 ) 2 2 18 + ( 3 3,5 ) 2 6 18 + ( 4 3,5 ) 2 6 18 + ( 5 3,5 ) 2 2 18 + ( 6 3,5 ) 2 1 18 = 24,5 18 1,36
bzw.
σ ( A ) 1,16
Die Streuung um den (gleichen) Erwartungswert ist in Beispiel 2 also geringer als in Beispiel 1.

Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels

Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels

Lagemaße - Häufigkeiten, Würfel

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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