Kenngrößen von Zufallsgrößen

Der Erwartungswert ist kein typischer Wert, d.h. in einem solchen Fall wird man versuchen, die Verteilung durch weitere Kenngrößen zu beschreiben. Das ist auch deshalb erforderlich, weil nicht jede Zufallsgröße einen Erwartungswert besitzt.

Median und Modalwert einer Zufallsgröße

Weitere Kenngrößen einer Zufallsgröße sind der Median und der Modalwert.

• Median der Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion F heißt der Argumentwert $x_M$, für den die Ungleichungen $F\left(x_M\right)\le \mathrm{0,5}\le F\left(x_M+0\right)$ gelten.

Wenn die Funktion F stetig ist, so gibt es mindestens eine Zahl $x_M$ mit $F\left(x_M\right)=\mathrm{0,5}$. Der Median halbiert die Verteilung. Man spricht auch vom mittelsten Wert der Verteilung.

• Als Modalwert M einer Zufallsgröße bezeichnet man einen solchen Wert, für den die Einzelwahrscheinlichkeit (diskrete Zufallsgröße) bzw. die Wahrscheinlichkeitsdichte (stetige Zufallsgröße) maximal wird.
  Man spricht auch vom häufigsten Wert.

Das gebräuchlichste Maß der Streuung (bzw. Varianz) ist heute die mittlere quadratische Abweichung.

• Die Streuung (bzw. Varianz) einer diskreten Zufallsgröße X ist folgendermaßen definiert:
  $D^{2}X=VarX=E{\left(X-EX\right)}^2={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left(x_i-\mu \right)}^2{p}_i}$
  Die Streuung (bzw. Varianz) einer stetigen Zufallsgröße X mit der Dichte f ist definiert durch:
  $D^{2}X=VarX=E{\left(X-EX\right)}^2={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left(x-\mu \right)}^2\cdot f\left(x\right)}dx$

Aufgrund der Linearität des Erwartungswertes erhält man durch einfache algebraische Umformung die folgende (für Berechnungen nützliche) Formel:
$D^{2}X=E\left(X^2\right)-{\left(EX\right)}^2$

Bezüglich der Streuung von Zufallsgrößen lässt sich Folgendes feststellen:

1. Die Streuung ist ein quantitatives Maß für den Grad der Verstreutheit einer Zufallsgröße X. Bei kleiner Streuung sind große Abweichungen der Zufallsgröße X vom Erwartungswert EX eher unwahrscheinlich. Umgekehrt liegen bei einer großen Streuung nicht alle Werte von X in der Nähe des Erwartungswertes.
2. Eine Zufallsgröße besitzt genau dann die Streuung 0, wenn diese Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeit 1 nur einen einzigen Wert annimmt. Dieser ist dann gleichzeitig der Erwartungswert.
   Man spricht in diesem Fall von einer Einpunktverteilung. Dies deckt sich auch mit den inhaltlichen Vorstellungen, die man von der Streuung besitzt.
3. Die Streuung ist von der speziellen Wahl des Koordinatenursprungs unabhängig. Sie kennzeichnet die Ausbreitung einer Verteilung. Deshalb bezeichnet man sie bisweilen auch als einen Ausbreitungsparameter der Zufallsgröße.

Nicht wenige Zufallsgrößen besitzen eine asymmetrische Verteilung. Zur Charakterisierung der Asymmetrie benutzt man die Kenngröße Schiefe. Für diese Kenngröße gibt es unterschiedliche Definitionen. Wir geben hier die relativ einfache, auf den Vater der mathematischen Statistik KARL PEARSON (1857 bis 1936) zurückgehende Fassung an.

• Gemäß der Definition durch KARL PEARSON ist die Schiefe der Quotient aus der Differenz des Erwartungswertes EX und des Modalwertes M sowie der Standardabweichung DX von X, d.h. für die Schiefe gilt:
  $\frac{EX-M}{DX }$

Die Normalverteilung als eine symmetrische Verteilung besitzt die Schiefe 0. Die Exponentialverteilung, bei der der „längere Teil“ rechts vom Erwartungswert $EX=\frac{1}{\lambda }$ liegt, besitzt eine positive Schiefe, und zwar mit dem Wert 1, da $M=0$ und $DX=\frac{1}{\lambda }$ ist.