Pfadregeln

Mithilfe der Pfadregeln lassen sich die Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche (Zufallsexperimente) berechnen. Als Hilfsmittel nutzt man hierbei Baumdiagramme, in denen die einzelnen Wegstücke mit den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des entsprechenden Teilvorgangs beschriftet sind.

Beispiel:
In einer Urne befinden sich fünf blaue und zwei weiße Kugeln. Es werden (ohne Zurücklegen) nacheinander drei Kugeln gezogen.
a) Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln, dass drei blaue Kugeln gezogen werden.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den gezogenen Kugeln genau eine weiße befindet?

Das folgende Bild zeigt das Baumdiagramm für diesen dreistufigen Zufallsversuch mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Wir betrachten zunächst die Wahrscheinlichkeit für ein mögliches Ergebnis des Zufallsversuchs.

1. Pfadregel (Produktregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses in einem mehrstufigen Vorgang ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades, der diesem Ergebnis entspricht.

Diese Regel gestattet uns die Lösung der Teilaufgabe a). Es ist (grüner Pfad):
$P\left(\left\{bbb\right\}\right)=\frac{5}{7}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2}{7}$
Auch die Wahrscheinlichkeit, drei weiße Kugeln zu ziehen, ließe sich mithilfe des Baumdiagramms berechnen:
$P\left(\left\{www\right\}\right)=\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{6}\cdot 0=0$
(Das zu diesem Pfad in Bild 1 gestrichelte Teilstück mit der Wahrscheinlichkeit 0 wird beim Zeichnen des Baumdiagramms im Allgemeinen weggelassen.)

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sind alle für dieses Ereignis günstigen Pfade (im Baumdiagramm rot markiert) zu berücksichtigen.

2. Pfadregel (Summenregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Vorgang ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der für dieses Ereignis günstigen Pfade.

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit, genau eine weiße Kugel (d. h. eine weiße Kugel und zwei blaue Kugeln) zu ziehen:
$\begin{array}{l}P\left(\left\{bbw\right\},\left\{bwb\right\},\left\{wbb\right\}\right)=\frac{5}{7}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}+\frac{5}{7}\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}+\frac{2}{7}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{4}{5}\\ =\frac{4}{7}\end{array}$