Bogenmaß

Zwischen der Größe des Winkels $α$ eines Kreissektors und der Länge b des zugehörigen Bogens besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung. Bezeichnet u die Länge des Umfangs des gesamten Kreises (mit dem Radius r), so gilt:
$b : u = α : 360 °$
Mit $u = 2 π \cdot r$ folgt hieraus:
$b : 2 π r = α : 360 °$
bzw.
$b = \frac{π}{180 °} r \cdot α$
Bildet man nun das Verhältnis $\frac{b}{r}$ , so ist dies wegen $\frac{b}{r} = \frac{π}{180 °} \cdot α$ nur von der Größe des Winkels $α$ abhängig. Zu jedem Winkel $α$ , dessen Größe in Gradmaß angegeben ist, gehört also ein eindeutig bestimmter Wert des Verhältnisses $\frac{b}{r}$ , der sich mittels $\frac{π}{180 °} \cdot α$ berechnen lässt.

Gradmaß und Bogenmaß

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Zwischen der Größe des Winkels $α$ eines Kreissektors und der Länge b des zugehörigen Bogens besteht eine umkehrbar eindeutige Beziehung. Bezeichnet u die Länge des Umfangs des gesamten Kreises (mit dem Radius r), so gilt:
$b : u = α : 360 °$
Mit $u = 2 π \cdot r$ folgt hieraus:
$b : 2 π r = α : 360 °$
bzw.
$b = \frac{π}{180 °} r \cdot α$
Bildet man nun das Verhältnis $\frac{b}{r}$ , so ist dies wegen $\frac{b}{r} = \frac{π}{180 °} \cdot α$ nur von der Größe des Winkels $α$ abhängig. Zu jedem Winkel $α$ , dessen Größe in Gradmaß angegeben ist, gehört also ein eindeutig bestimmter Wert des Verhältnisses $\frac{b}{r}$ , der sich mittels $\frac{π}{180 °} \cdot α$ berechnen lässt. Das gilt auch für Winkel, die kleiner als 0° oder größer als 360° sind. Wegen dieser eindeutigen Beziehung kann man die reelle Zahl $α \cdot \frac{π}{180 °}$ als ein weiteres Maß für die Größe eines Winkels $α$ verwenden. Man nennt es das Bogenmaß des Winkels $α$ .

Das Bogenmaß eines Winkels $α$ ist das Verhältnis (der Länge) des zu diesem Winkel gehörenden Kreisbogens b und (der Länge) des Kreisradius r. Es wird mit arc $α$ (gesprochen: arkus alpha) oder $\overset{⌢}{α}$ bezeichnet (arcus (lat.) – Bogen):
$a r c α = \frac{b}{r} = \frac{π}{180 °} \cdot α$

Kreisbogen und Zentri- oder Mittelpunktswinkel am Kreis mit beliebigem Radius

Am Einheitskreis ist wegen r = 1 (Längeneinheit)
$a r c α = b$ . Deshalb kann man auch in folgender Weise formulieren:

Das Bogenmaß eines Winkels $α$ ist die Maßzahl der Länge des zu diesem Winkel gehörenden Kreisbogens b auf dem Einheitskreis.

Die Einheit des Bogenmaßes beim Messen der Größe von Winkeln ist 1 Radiant (1 rad).
1 rad ist also die Größe des Winkels, für den der Bogen auf dem Einheitskreis die Länge 1 (LE) besitzt. Aus $1 r a d = \frac{π}{180 °} \cdot α$ folgt:
$α = 1 \cdot \frac{180 °}{π} \approx 57,295 78 ° (b z w . 57 ° 17 ⏢ 45")$ .
Umgekehrt gilt:
$1 ° = \frac{π}{180 °} r a d \approx 0,01 745 3 r a d$

Bei der Angabe von Winkelgrößen in Bogenmaß wird auf die Einheit rad meist verzichtet und lediglich die entsprechende reelle (Maß-)Zahl angegeben – also z. B. $1 ° = 0,01 745 3$ .
Häufig gibt man das Bogenmaß als ganzzahliges oder gebrochenes Vielfaches von $π$ an.

Kreisbogen und Zentri- oder Mittelpunktswinkel am Einheitskreis

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