Stochastische Prozesse

EINSTEIN ging bei seinen Betrachtungen davon aus, dass die gleichsam chaotische Bewegung kleiner Teilchen in einer Flüssigkeit durch Stöße der Flüssigkeitsmoleküle, die sich infolge ihres Wärmegehaltes selbst zufällig bewegen, verursacht wird. Wenn $X_t$ die Koordinaten eines Teilchens zum Zeitpunkt t beschreibt, dann bildet die Menge der Zufallsgrößen $X_t$ für alle Zeitpunkte t einen stochastischen Prozess.

An diese Arbeit von EINSTEIN, in der er die Gesetzmäßigkeit dieser ungeordneten Wärmebewegung von Molekülen aufdeckte, schlossen sich u.a. Arbeiten von NORBERT WIENER (1894 bis 1964) und von ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW (1903 bis 1987) an.

KOLMOGOROW war es auch, der mit seiner Theorie der unendlichdimensionalen Wahrscheinlichkeitsräume einen wesentlichen Grundstein für eine allgemeine Theorie der stochastischen Prozesse legte.

• Definition: Eine Menge von Zufallsgrößen $X_t$, die von einem Parameter t abhängen, der in einer reellen Zahlenmenge T $\left(mitT\ne \varnothing \right)$ variiert, heißt stochastischer Prozess.

Für einen stochastischen Prozess schreibt man kurz $\left\{X_t\text{:}t\in T\right\}$. Verschiedentlich werden auch andere Schreibweisen benutzt, wie z.B. $\left\{X\left(t\right)\text{:}t\in T\right\}$ oder ${\left(X_t\right)}_{t\in T}$.

Der Parameter t wird im Allgemeinen als Zeitparameter interpretiert (wobei er in vielen Anwendungen tatsächlich die Zeit bedeutet), er kann aber auch irgendeine andere Größe bezeichnen.

Ist T eine endliche oder abzählbar unendliche Menge natürlicher Zahlen, so spricht man von einem stochastischen Prozess mit diskreter Zeit. In diesem Sinne ist jede abzählbare Folge $(X_n)mitn=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...}$ von Zufallsgrößen ein stochastischer Prozess.

Die neue Qualität (im Vergleich zur Wahrscheinlichkeitsrechnung im 18. und 19. Jahrhundert) der wahrscheinlichkeitstheoretischen Problemstellung, wie sie mit dem Begriff „Stochastischer Prozess“ verbunden ist, ergibt sich aber erst dann, wenn T eine nichtabzählbare Menge ist.

Dies soll an drei Aspekten verdeutlicht werden.
Neuartig ist, dass

1. eine Gesamtheit von Zufallsgrößen $X_t$ betrachtet wird, die von einem Parameter t abhängen.
2. die Größe $X_t$ für ein festgewähltes Elementarereignis eine Zufallsfunktion des Arguments t ist (eiese Funktion nennt man Realisierung des stochastischen Prozesses);
3. mit der Untersuchung stochastischer Prozesse die Beschäftigung mit abhängigen Zufallsgrößen in den Mittelpunkt rückte, während sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung zuvor meist mit unabhängigen Ereignissen und Zufallsgrößen befasst hatte.

Stochastische Prozesse treten in den verschiedensten Praxisbereichen auf, sei es in der Physik der kleinsten Teilchen, bei Warteschlangen- und Bedienungsproblemen, in der Zuverlässigkeitstheorie, bei der Bevölkerungsbewegung oder auch bei Prognoseaussagen.

Geprägt von den verschiedenen Anwendungssituationen, aber auch vom Vorhandensein eines entwickelten theoretischen Instrumentariums sind eine Reihe von Typen stochastischer Prozesse besonders ausgezeichnet.
Der wohl bekannteste stochastische Prozess ist der markowsche Prozess, benannt nach dem russischen Mathematiker ANDREJ ANDREJEWITSCH MARKOW (1856 bis 1922), einem Schüler von PAFNUTY LWOWITSCH TSCHEBYSCHEW (1821 bis 1894), dem Begründer der mathematischen Schule von St. Petersburg.