Kugel und Ebene

Besitzen Kugel und Ebene genau einen gemeinsamen Punkt (Fall 2), dann heißt die Ebene Tangentialebene.

Um festzustellen, welche der drei Möglichkeiten vorliegt, ermittelt man den Abstand d der Ebene $\epsilon$ vom Mittelpunkt M der Kugel k:

1. Wenn $d>r$ ist, so gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
   (Fall 1)
2. Wenn $d=r$ ist, so existiert genau ein gemeinsamer Punkt, $\epsilon$ ist Tangentialebene.
   (Fall 2)
3. Wenn $d<r$, so schneidet die Ebene $\epsilon$ die Kugel k, es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte, die einen Schnittkreis bilden.
   (Fall 3)

Im Fall 2 (Tangentialebene) lässt sich der Berührungspunkt $P_0$ als Durchstoßpunkt der Geraden g durch den Mittelpunkt M der Kugel k mit Richtung des Normalenvektors $\overrightarrow{n_{\epsilon }}$ der Ebene $\epsilon$ ermitteln.

Im Fall 3 (es existiert ein gemeinsamer Schnittkreis von Kugel k und Ebene $\epsilon$) können der Mittelpunkt $M_s$ und der Radius $r_s$ des Schnittkreises s berechnet werden.

Den Mittelpunkt $M_s$ erhält man als Durchstoßpunkt der Geraden durch den Mittelpunkt M der Kugel k in Richtung des Normalenvektors $\overrightarrow{n_{\epsilon }}$ der Ebene $\epsilon$.

Den Radius des Schnittkreises berechnet man mithilfe des Satzes des PYTHAGORAS:
$r_s=\sqrt{r^2-d^2}$

• Beispiel 1: Gegeben sind eine Kugel k mit $M\left(2;-5;3\right)undr=\sqrt{5}$ sowie eine Ebene $\epsilon$ durch ihre Gleichung $2x+y+z=4$.

Der Abstand d des Mittelpunktes M der Kugel k von der Ebene $\epsilon$ beträgt:
$d=\left|\left[\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\right|=\frac{8}{\sqrt{6}}$
Damit ist $d>r$, Kugel k und Ebene $\epsilon$ haben also keinen gemeinsamen Punkt.

• Beispiel 2: Gegeben sind eine Kugel k mit $M\left(2;1;3\right)undr=3$ sowie eine Ebene $\epsilon$ durch ihre Gleichung $x-2y+2z=-3$.

Der Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene $\epsilon$ beträgt:
$d=\left|\left[\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)\cdot \frac{1}{3}\right|=3$
Somit ist $d=r$, also existiert genau ein gemeinsamer Punkt $P_0$, die Ebene $\epsilon$ ist Tangentialebene an die Kugel k.
Nun werden die Koordinaten des Berührungspunktes $P_0$ ermittelt. Die Gerade g durch den Mittelpunkt M der Kugel in Richtung des Normalenvektors $\overrightarrow{n_{\epsilon }}$ der Ebene $\epsilon$ wird durch folgende Gleichung beschrieben:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right);t\in ℝ$
Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes der Geraden in die Ebenengleichung erhält man den Wert des Parameters t:
$\begin{array}{c}\left(2+t\right)-2\cdot \left(1-2t\right)+2\cdot \left(3+2t\right)=-3\\ 9t=-9\\ t=-1\end{array}$
Damit ist $P_0\left(1;3;1\right)$ der gesuchte Berührungspunkt.

• Beispiel 3: Gegeben sind eine Kugel k mit $M\left(5;2;1\right)undr=7$sowie eine Ebene $\epsilon$ durch ihre Gleichung $2x+2y+z=6$.

Der Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene $\epsilon$ beträgt:
$d=\left|\left[\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)\cdot \frac{1}{3}\right|=3$
Damit ist $d<r$, die Ebene $\epsilon$ schneidet also die Kugel k.
Die Koordinaten des Mittelpunktes $M_s$ des Schnittkreises und sein Radius $r_s$ werden ermittelt durch Aufstellen der Gleichung für die Geraden durch M in Richtung des Normalenvektors $\overrightarrow{n_{\epsilon }}$ der Ebene $\epsilon$ und Einsetzen in die Ebenengleichung:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right);t\in ℝ$
$\begin{array}{c}2\cdot \left(5+2t\right)+2\cdot \left(2+2t\right)+\left(1+t\right)=6\\ 9t=-9\\ t=-1\end{array}$
Man erhält schließlich:
$\begin{array}{l}{r}_s=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{49-9}=\sqrt{40}=2\cdot \sqrt{10}\\ M_s\left(3;0;0\right)\end{array}$