Kugel und Tangentialebene

Tangentialebene an die Kugel

Tangentialebene an die Kugel

Der Vektor M P 0 ist folglich Normalenvektor der Tangentialebene.
Es gilt (mit P als beliebigem Punkt der Tangentialebene):
P P 0 M P 0 = 0
Somit hat man eine vektorielle Gleichung der Tangentialebene:
( x p 0 ) ( p 0 m ) = 0
Man kann die Tangentialebene aber auch durch eine Gleichung in Koordinatenform beschreiben.
Diese erhält man ganz einfach aus der Kugelgleichung | x m | 2 = r 2 , indem man einmal den Vektor x durch den Ortsvektor zum Berührungspunkt P 0 ersetzt:
( x m ) ( p 0 m ) = r 2 ( x c ) ( x 0 c ) + ( y d ) ( y 0 d ) + ( z e ) ( z 0 e ) = r 2

Will man für einen Punkt P 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) einer Kugel die Gleichung der Tangentialebene finden, so setzt man die entsprechenden Werte in die oben genannten Gleichungen ein.

  • Beispiel 1: Eine Kugel k sei gegeben durch M(–1; 4; 0) und r = 3.
    Die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P 0 ( 0 ; 2 ; 2 ) ist zu ermitteln.

Die Gleichung der Kugel lautet ( x + 1 ) 2 + ( y 4 ) 2 + z 2 = 9.
Jeder Punkt P der Tangentialebene mit dem Ortsvektor x muss dann die folgende Gleichung erfüllen:
P P 0 M P 0 = 0 b z w . [ x ( 0 2 2 ) ] ( 1 2 2 ) = 0
Durch Einsetzen ergibt sich nun:
1 ( x + 1 ) 2 ( y 4 ) 2 z = 9 b z w . x 2 y 2 z = 0

Will man dagegen feststellen, ob eine bestimmte Ebene ε Tangentialebene einer Kugel ist, so untersucht man, ob es einen Berührungspunkt P 0 gibt.

  • Beispiel 2: Eine Ebene ε sei gegeben durch x 2 y + 2 z = 15 und eine Kugel k durch M ( 2 ; 1 ; 3 ) u n d r = 3 bzw. die Gleichung ( x 2 ) 2 + ( y 1 ) 2 + ( z 3 ) 2 = 9.
    Es ist zu prüfen, ob ε eine Tangentialebene von k ist.

Der Abstand der Ebene vom Mittelpunkt M der Kugel wird folgendermaßen berechnet:
d M ; ε = | [ ( 2 1 3 ) ( 3 1 7 ) ] ( 1 2 2 ) 1 3 | = | 1 8 3 | = 3
Damit ist d M ; ε = r = 3 , sodass ε die Kugel k berührt und damit eine Tangentialebene von k ist.

Ermitteln des Berührungspunktes:
Die senkrecht auf ε stehende durch M verlaufende Gerade g M ε = g hat die folgende Punktrichtungsgleichung:
g : x = ( 2 1 3 ) + t ( 1 2 2 ) ( t )
Für den Schnittpunkt von g und ε ergibt sich dann:
( 2 + t ) 2 ( 1 2 t ) + 2 ( 3 + 2 t ) = 15 9 t = 9 t = 1
Damit hat der Berührungspunkt P 0 die Darstellung P 0 ( 3 ; 1 ; 5 ) .
Probemöglichkeit:
M P 0 = ( 1 2 2 ) = n ε
M P 0 ist ein Normalenvektor von ε , was eine notwendige Bedingung dafür ist, dass ε eine Tangentialebene von k ist.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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