Diskriminante

Die Lösungsformel für die Normalform der quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 lautet:
x 1; 2 = p 2 ± ( p 2 ) 2 q
Der Radikand ( p 2 ) 2 q heißt Diskriminante und wird mit D abgekürzt.

Vom Wert des Radikanden in der Lösungsformel hängt es ab, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat:

  • Ist D > 0, so gibt es zwei Lösungen: x 1 = p 2 + D und x 2 = p 2 D
  • Ist D = 0, so gibt es genau eine Lösung:
    x = p 2
  • Ist D < 0, so gibt es keine Lösung, da D keine reelle Zahl ist.

Beispiel 1:

       x 2 + 12 x 45 = 0 x 1; 2 = 12 2 ± ( 12 2 ) 2 + 45 x 1; 2 = 6 ± 36 + 45 x 1; 2 = 6 ± 81 D > 0 zwei Lösungen x 1 = 6 + 9 = 3 x 2 = 6 9 = 1 5 L = { 3; 15 }

Beispiel 2:

        x 2 8 x + 16 = 0 x 1; 2 = 8 2 ± ( 8 2 ) 2 16 x 1; 2 = + 4 ± 16 16 x 1; 2 = + 4 ± 0 D = 0 eine Lösung x 1 = x 2 = 4 L = { 4 }

Beispiel 3:

         x 2 + 20 x + 144 = 0 x 1; 2 = 20 2 ± ( 20 2 ) 2 144 x 1; 2 = 10 ± 100 144 x 1; 2 = 10 ± 44 D < 0 keine reelle Lösung L = { }

Für den Fall D < 0 hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen.

Für die quadratische Gleichung in allgemeiner Form
a x 2 + b x + c = 0 lässt sich für D = b 2 4 a c eine analoge Fallunterscheidung durchführen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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