Menge

Der Begriff Menge wird in der Mathematik als Grundbegriff verwendet, also nicht mit anderen Begriffen erklärt.
Zusammenfassungen von beliebigen wirklich existierenden oder gedachten Dinge zu einem Ganzen werden als Mengen bezeichnet. Die zusammengefassten Dinge sind die Elemente der Menge.
x $\in$ M (gesprochen: x Element M) bedeutet „x gehört zur Menge M“.
x $\notin$ M (gesprochen: x nicht Element M) bedeutet „x gehört nicht zu M“.
Beispiel:
15 $\in$ $\mathbb{N}$ (15 ist eine natürliche Zahl.)
–7 $\notin$ $\mathbb{Q}$+ (–7 ist keine gebrochene Zahl.)

In ähnlicher Weise wurde der Begriff „Menge“ erstmals 1895 vom deutschen Mathematiker GEORG CANTOR (1845 bis 1918) erklärt. Er begründete Ende des 19. Jahrhunderts die Mengenlehre als Mittel zur kurzen, präzisen Darstellung von mathematischen Sachverhalten.
Diese deshalb oft auch als cantorsche Mengendefinition bezeichnete Erklärung des Begriffs Menge ist allerdings keine Definition, denn der Begriff „Menge“ wird hier nicht auf andere, bereits definierte Begriffe zurückgeführt.
Das Wort „Zusammenfassung“ ermöglicht allerdings eine anschauliche Beschreibung des Sachverhaltes.

Werden Objekte zu einer Menge zusammengefasst, erfolgt das nach den Eigenschaften, die alle Objekte der Menge haben. Diese Eigenschaften können mit Aussageformen beschrieben werden. Die und nur die Objekte des Grundbereiches, welche die Aussageform erfüllen, gehören zur Menge.
Beispiel:
M sei die Menge aller ganzzahligen Teiler von 24.
M = { x $\in$ G : x | 24 }

Jede Menge wird also aus allen Elementen des Grundbereichs gebildet, die die mengenbildende Eigenschaft besitzen.
Es gibt hier drei Möglichkeiten:

1. Kein Element des Grundbereichs hat die mengenbildende Eigenschaft. Es entsteht die leere Menge.
   Beispiel:
   Für keine natürliche Zahl wird die Aussageform x < 0 zur wahren Aussage.
   A = { x $\in$ $\mathbb{N}$: x < 0 } = { } =$\cancel{0}$
2. Mindestens ein Element, aber nicht alle Elemente des Grundbereichs haben die mengenbildende Eigenschaft.
   Beispiel:
   Für einige, aber nicht für alle natürlichen Zahlen wird die Aussageform x |12 zur wahren Aussage.
   B = { x $\in$ $\mathbb{N}$: x |12 } = { 1; 2; 3; 4; 6; 12 } enthält deshalb einige, aber nicht alle Elemente aus $\mathbb{N}$.
3. Alle Elemente des Grundbereichs haben die mengenbildende Eigenschaft. Die Menge C ist die Allmenge über dem Grundbereich G (C = G).
   Beispiel:
   Für alle natürlichen Zahlen wird die Aussageform $x^3+1>0$ zur wahren Aussage.
   $C=\{x\in \mathbb{N}:x^3+1>0\}=\mathbb{N}$