Basen und Dimension von Unterräumen

• Die lineare Unabhängigkeit der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_k}$ eines Vektorraumes V ist durch die Gültigkeit der folgenden Aussage charakterisiert:
  Aus $r_1\overrightarrow{a_1}+r_2\overrightarrow{a_2}+\mathrm{...}+r_k\overrightarrow{a_k}=\overrightarrow{o}$ folgt $r_1=r_2=\mathrm{...}=r_k=0$.

Genau in diesem Fall lässt sich kein Vektor der gegebenen Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_k}$ als Linearkombination der übrigen darstellen.

Für die Vektoren einer Ebene $\left(V_2\right)$ bzw. für die im Raum ( $V_3$, Vektoren des Anschauungsraumes) ist der Begriff Basis für zwei nicht parallele Vektoren bzw. drei nichtkomplanare Vektoren definiert. In beiden Fällen sind die zwei bzw. drei Vektoren linear unabhängig. Eine solche Basis stellt jeweils ein minimales Erzeugendensystem für $V_{2}bzw.V_3$ dar. Das bedeutet auch: Minimalität eines Erzeugendensystems und lineare Unabhängigkeit seiner Elemente entsprechen einander.

Anmerkung: Es werden hier nur Vektorräume mit endlich vielen Basiselementen betrachtet (der Vektorraum aller Funktionen von $ℝ$ in $ℝ$ hat z.B. keine endliche Basis).
Da für Vektorräume mit einer endlichen Basis gezeigt werden kann, dass alle Basen gleich viele Vektoren enthalten, wird die Anzahl der Vektoren einer Basis die Dimension des Vektorraumes genannt.

• Definition: Es sei U ein vom Nullraum $\left\{\overrightarrow{o}\right\}$ verschiedener Unterraum des Vektorraumes V.
  Ein Erzeugendensystem $\left\{\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_m}\right\}$ von U heißt genau dann eine Basis von U, wenn die Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_m}$ linear unabhängig sind.
  Die Anzahl der Vektoren einer Basis von U nennt man die Dimension von U.
  (Da V Unterraum von sich selbst ist, sind durch obige Formulierung auch die Begriffe Basis von V und Dimension von V für einen endlichdimensionalen Vektorraum V mit erfasst.)

Im Folgenden werden wir einige Beispiele für Basen und Unterräume angeben.

Beispiel 1: Basen im n-dimensionalen Vektorraum ${ℝ}^n$

Die Menge $B=\left\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{e_n}\right\}$ mit
$\overrightarrow{e_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{e_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\mathrm{...,}\overrightarrow{e_n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right)$
heißt die natürliche Basis des n-dimensionalen Vektorraumes ${ℝ}^n$.
Je n linear unabhängige Vektoren des ${ℝ}^n$ bilden eine Basis von ${ℝ}^n$. Somit stellen die Spaltenvektoren einer regulären $\left(n\times n\right)\text{-Matrix}$ A (und ebenso ihre Zeilenvektoren) eine Basis von ${ℝ}^n$ dar.
Als Standardmodell ${ℝ}^n$ für einen n-dimensionalen reellen Vektorraum (reell bezieht sich dabei auf den Skalarbereich) finden sich auch die Vektorräume $V_{2}und{V}_3$ mit ihrer natürlichen Basis $\left\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\right\}$ bzw. $\left\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\right\}$ wieder.

Beispiel 2: Vektorraum $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ der zweireihigen Matrizen und Unterräume

Betrachtet werden von den Vektorräumen $M_{\left(m,n\right)}$ speziell der Vektorraum $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ der zweireihigen Matrizen und Unterräume davon.
Für $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ hat man also Matrizen vom Typ
$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)mit{a}_{ik}\in ℝ,$
wobei die Addition und auch die skalare Multiplikation elementweise auszuführen sind.
Die Matrizen
$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)und\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
bilden eine Basis von $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ (erzeugen $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ und sind linear unabhängig).
Somit ist der Vektorraum $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ der zweireihigen Matrizen ein vierdimensionaler Vektorraum.
Es soll nun für Teilmengen von $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ erstens geklärt werden, ob sie Unterräume sind, und zweitens, gegebenenfalls durch Angabe einer Basis, die Dimension des Unterraumes ermittelt werden.
Gegeben seien die folgenden Teilmengen:
$\begin{array}{l}{M}_1=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)|a,b\in ℝ\right\}{M}_2=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& b\end{array}\right)|a,b\in ℝ\right\}\\ M_3=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)|a,b\in ℝ,a+b=0\right\}\end{array}$
Geprüft wird im Folgenden nach dem Unterraumkriterium .
Mit Elementen aus $M_1$ gilt
$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ b_1& -a_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ b_2& -a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_1+a_2& b_1+b_2\\ b_1+b_2& -\left(a_1+a_2\right)\end{array}\right)\in M_1,\\ r\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ra& rb\\ rb& -ra\end{array}\right)\in M_1,\end{array}$
d.h., $M_1$ ist ein Unterraum von $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$.
Mit Matrizen aus $M_2$ gilt
$\left(\begin{array}{cc}{a}_1& 1\\ 1& b_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{a}_2& 1\\ 1& b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_1+a_2& 2\\ 2& b_1+b_2\end{array}\right)\notin M_2$
(analog zur Vervielfachung mit einem $r\in ℝ,r\ne 0$), und folglich ist $M_2$ kein Vektorraum und damit kein Unterraum vom $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$.
Zu Matrizen aus $M_3$ ergibt sich:
$\left(\begin{array}{cc}{a}_1& 0\\ 0& b_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{a}_2& 0\\ 0& b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_1+a_2& 0\\ 0& b_1+b_2\end{array}\right)$
(aus $a_1+b_1=0und{a}_2+b_2=0$ folgt $\left(a_1+a_2\right)+\left(b_1+b_2\right)=0$),
$r\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ra& 0\\ 0& rb\end{array}\right)$
(wegen $a+b=0$ gilt $ra+rb=r\left(a+b\right)=0$)
Insgesamt liegt mit $M_3$ bezüglich $+und\cdot$ in $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ ein Unterraum von $M_{\left(\mathrm{2,}2\right)}$ vor.
Der Unterraum $M_1$ wird durch die linear unabhängigen Matrizen
$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)und\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$
erzeugt. $M_1$ ist damit ein zweidimensionaler Vektorraum.
Für den Unterraum $M_3$ genügt für die Erzeugung das Element
$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$,
d.h., der Unterraum $M_3$ der angegebenen speziellen zweireihigen Matrizen ist eindimensional.

Beispiel 3: Vektorraum $P_n$ der Polynome höchstens n-ten Grades

Bevor wir uns mit einem Vektorraum $P_n$ der Polynome höchstens n-ten Grades befassen, wird eine grundlegende Eigenschaft der Polynome bereitgestellt.
Ein Polynom p mit
$p\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0(a_i\in ℝ)$
ist eindeutig durch seine Koeffizienten bestimmt.
Das heißt, aus der Gültigkeit der Gleichung
$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0=b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+b_{1}x+b_0\left(1\right)$
für alle $x\in ℝ$ folgt:
$a_n=b_n,a_{n-1}=b_{n-1},\mathrm{...,}{a}_1=b_1,a_0=b_0$
Zum Beweis wird zunächst festgestellt, dass aus (1) mit $x=0$ sofort $a_0=b_0$ folgt.
Wegen $a_0=b_0$ ergibt sich für $x\ne 0$:
$a_n{x}^{n-1}+a_{n-1}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+a_{2}x+a_1=b_n{x}^{n-1}+b_{n-1}{x}^{n-2}+\mathrm{...}+b_{2}x+b_1\left(2\right)$
Da x beliebig klein werden kann (also für x gegen 0), folgt aus (2) auch $a_1=b_1$. Der letzte Gedanke kann schrittweise bis $a_n=b_n$ wiederholt werden.
Es wird nun im Vektorraum $P_5$ der Polynome höchstens fünften Grades die Menge U aller ungeraden Funktionen in $P_5$ betrachtet:
$U=\left\{p\in P_5|p\left(x\right)=-p\left(-x\right)\right\}$
Zum Beispiel ist p mit $p\left(x\right)=x$ eine solche ungerade Funktion aus U. Man rechnet nach, dass mit zwei Polynomen $p,q\in U$ auch $p+q$ in U liegt und mit $p\in U$ und $r\in ℝ$ ebenso $r\cdot p\in U$ ist; das Wesentliche dazu drücken die folgenden Zeilen aus:
$\begin{array}{l}\left(p+q\right)\left(x\right)=p\left(x\right)+q\left(x\right)\\ =-p\left(-x\right)-q\left(-x\right)=-\left(p+q\right)\left(-x\right)\\ \left(r\cdot p\right)\left(x\right)=r\cdot p\left(x\right)\\ =-r\cdot p\left(-x\right)=-\left(r\cdot p\right)\left(-x\right)\end{array}$
Nach dem Unterraumkriterium ist somit U ein Unterraum von $P_5$. Der oben besprochene Eindeutigkeitssatz für Polynome (Grundlage für einen Koeffizientenvergleich) zeigt:

1. Aus $p\in U$, d.h.
   $\begin{array}{c}p\left(x\right)=a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0\\ =-p\left(-x\right)=a_5{x}^5-a_4{x}^4+a_3{x}^3-a_2{x}^2+a_{1}x-a_0,\end{array}$
   folgt, dass in der Darstellung von $p\left(x\right)$ die Koeffizienten für die Potenzen von x mit geradem Exponenten sämtlich 0 sind:
   $a_4=a_2=a_0=0$
2. Es ist:
   $\begin{array}{c}U=\left\{p\in P_5|p\left(x\right)=-p\left(-x\right)\right\}\\ =\left\{p\in P_5|p\left(x\right)=a_5{x}^5+a_3{x}^3+a_{1}x(a_i\in ℝ)\right\}\end{array}$

Aus der gewonnenen Darstellung für U kann man nun mit den Polynomen $q_1\left(x\right)=x,q_2\left(x\right)=x^3,q_3\left(x\right)=x^5$ eine Basis für U ablesen ($q_1,q_2,q_3$ sind linear unabhängig, denn die Linearkombination zum „Nullpolynom“ $o\left(x\right)=0$, dem Nullvektor in U, ergibt nach dem Koeffizientenvergleich die Behauptung).

Die Dimension des Unterraumes U von $P_5$ ist damit 3. Die Dimension des Vektorraum $P_5$ der Polynome höchsten fünften Grades selbst ist 6. Mit der Menge $B=\left\{\mathrm{1,}x,x^2,x^3,x^4,x^5\right\}$ werden sechs Polynome $p_i$ mit $p_i\left(x\right)=x^i;i=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{...,}5$ beschrieben, die eine Basis von $P_5$ bilden. Es ist hier schon einsichtig, dass die sechsdimensionalen reellen Vektorräume $P_5$ und ${ℝ}^6$ miteinander eng verwandt sind.