Unterräume und Erzeugendensysteme

Durch Beschreibung der Vektoren des Anschauungsraumes mittels Koordinaten erhält man den Vektorraum V mit
V = { x | x = ( a 1 a 2 a 3 ) ; a i } .
In U werden die Ortsvektoren der Punkte einer Ebene ε durch den Ursprung O zusammengefasst, beispielsweise:
U = { x | x = r ( 1 3 0 ) + s ( 0 1 4 ) , r , s } = { x = ( x 1 x 2 x 3 ) | 12 x 1 4 x 2 + x 3 = 0 }
Die Teilmenge U des Vektorraumes V ist bezüglich der Addition und der skalaren Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum.

Unterraum U von Ortsvektoren; Ebene enthält O

Unterraum U von Ortsvektoren; Ebene enthält O

Beziehen sich dagegen die Ortsvektoren auf Punkte einer Ebene, die nicht den Ursprung O enthält, wie in der Menge
L = { x = ( x 1 x 2 x 3 ) | 2 x 1 + x 2 + x 3 = 4 } = { x | x = ( 2 0 0 ) + r ( 2 0 4 ) + s ( 2 4 0 ) ; r , s } ,
so ist die Teilmenge L von V kein Vektorraum, da (und es gibt viele Begründungen dafür( z.B. x = ( 0 0 4 ) L , aber x L , was der Eigenschaft (4) der Vektorraumdefinition widerspricht.

Unterraum L von Ortsvektoren; Ebene enthält nicht O

Unterraum L von Ortsvektoren; Ebene enthält nicht O

  • Definition: Eine Teilmenge U eines Vektorraumes V, die selbst bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V ein Vektorraum ist, heißt Unterraum U des Vektorraumes V.

Ist eine Teilmenge U eines Vektorraumes ( V , + , ) selbst bezüglich + u n d ein Vektorraum, so führen die Summenbildung und die skalare Vervielfachung nicht aus U hinaus und es existieren ein Nullelement und für jedes Element ein entgegengesetztes Element in U. Die restlichen Bedingungen der Vektorraumdefinition gelten auf ganz V und damit auch in U.

Daraus ergibt sich der folgende Satz:

  • Satz (Unterraumkriterium): Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraumes V ist genau dann ein Unterraum von V, wenn für alle Vektoren a , b aus U und für alle reellen Zahlen r gilt:
    a , b U a + b U a U ; r r a U

Beweis:
Die Bedingungen sind notwendig. Sie sind auch hinreichend, da nach der vorbereitenden Bemerkung zum Satz für eine Teilmenge U mit den beiden Bedingungen nur noch (3) und (4) aus der Vektorraumdefinition nachzuweisen sind:
Im Vektorraum V ist o der Nullvektor: Er gehört auch zu U, da 0 a = o ist, und folglich gilt (3) in U.
Wegen a = ( 1 ) a ist mit a U stets a U , was (4) in U bestätigt.
w.z.b.w.

Beispiele von Unterräumen spezieller Vektorräume

(1) Für jede natürliche Zahl n ist der Vektorraum P n der Polynome höchstens n-ten Grades (definiert sind alle Polynome auf ganz ) jeweils ein Unterraum des Funktionsraumes aller Funktionen mit Definitionsbereich .

(2) Im einleitend betrachteten Vektorraum V der Ortsvektoren des Anschauungsraum ( V = 3 ) bilden Unterräume:

  1. der Vektorraum, der nur aus dem Nullvektor o besteht;
  2. alle Ortsvektoren, die Punkte einer festen Geraden g durch O beschreiben;
  3. alle Ortsvektoren, die Punkte einer festen Ebene ε durch O beschreiben;
  4. der ganze Vektorraum V.

Der einleitend angegebene Unterraum U von V wird durch alle Linearkombinationen der Vektoren
( 1 3 0 ) u n d ( 0 1 4 )
gebildet; die Koordinaten der Vektoren
x = ( x 1 x 2 x 3 ) von U
genügen der Beziehung 12 x 1 4 x 2 + x 3 = 0 .
Es ist U 1 mit
U 1 = { x | x = t ( 1 4 4 ) ; t }
ein Unterraum von U und damit auch von V (vergleiche linke Figur in der folgenden Abbildung).
Der Unterraum U 2 von V mit
U 2 = { x | x = t ( 2 3 1 ) ; t }
ist aber kein Unterraum von U (vergleiche rechte Figur in der folgenden Abbildung).

Beispiel und Gegenbeispiel für einen Unterraum von U

Beispiel und Gegenbeispiel für einen Unterraum von U

(3) Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems mit n Variablen ist ein Unterraum des Vektorraumes n aller n-Tupel reeller Zahlen.

Linearkombinationen und Erzeugendensysteme

Gegeben seien ein Vektorraum V und die Vektoren a 1 , a 2 , ..., a m V .
Wir betrachten die Menge M aller Linearkombinationen dieser Vektoren, d.h. die Menge M mit
M = { x | x = r 1 a 1 + r 2 a 2 + ... + r m a m ; r i } .

Diese Menge hat bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V die folgenden Eigenschaften:
a + b M , f a l l s a M u n d b M r a M , a M u n d r
Das heißt, M ist ein Unterraum von V, und es gilt der folgende Satz:

  • Satz: Sind a 1 , a 2 , ... , a m Vektoren eines Vektorraumes V, so ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren bezüglich der Addition und der Vervielfachung in V wieder ein Vektorraum, d.h. ein Unterraum von V.

Für so erzeugte Unterräume sind die in der folgenden Definition angegebenen Benennungen üblich:

  • Definition: Der durch alle Linearkombinationen der Vektoren a 1 , a 2 , ... , a m gebildete Unterraum U eines Vektorraumes heißt die lineare Hülle U der Vektoren a 1 , a 2 , ... , a m (bzw. der von a 1 , a 2 , ... , a m erzeugte Unterraum U bzw. der von a 1 , a 2 , ... , a m aufgespannte Unterraum U).
    Die Menge { a 1 ; a 2 ; ... ; a m } wird ein Erzeugendensystem des Unterraumes U genannt.

Wir betrachten dazu das folgende Beispiel.

  • Beispiel: Es sei P 5 der Vektorraum der Polynome höchstens 5. Grades, also
    P 5 = { p | p ( x ) = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ; a i }
    Die Polynome p 1 , p 2 , p 3 u n d p 4 mit
    p 1 ( x ) = x ; p 2 ( x ) = 2 x + x 5 ; p 3 ( x ) = x 3 ; p 4 ( x ) = x 5
    gehören zu P 5 .
    Bildet man die Menge M aller Linearkombinationen dieser vier Polynome und wählt dabei die variablen Koeffizienten passend zu den Exponenten von x, so kann M wie folgt notiert werden:
    M = { p P 5 | p ( x ) = a 5 x 5 + a 3 x 3 + a 1 x ; a 1 , a 2 , a 3 }
    Aus q 1 , q 2 M u n d r folgt q 1 + q 2 M u n d r q 1 M . Damit ist M nach dem Unterraumkriterium ein Unterraum von P 5 , der durch p 1 , p 2 , p 3 u n d p 4 aufgespannt wird.
    Man erkennt, dass schon die drei Polynome p 1 , p 3 u n d p 4 den Unterraum M aufspannen und dass { p 1 ; p 3 ; p 4 } ein minimales Erzeugendensystem des Unterraumes M ist.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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