Kollinearität von Punkten (und Vektoren)

Punkte und Geraden der Ebene

Fall 1: Die Gerade sei durch eine Gleichung in parameterfreier Form gegeben.

• Beispiel 1: Es ist zu prüfen, ob die Punkte $P_1\left(4;5\right)und{P}_2\left(1;3\right)$ auf der Geraden g mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=2x-3$ liegen.

Eine Punktprobe, also das Einsetzen der Koordinaten von $P_1$ in die Geradengleichung, führt zur wahren Aussage $5=2\cdot 4-3=5;$ also ist $P_1$ ein Punkt der Geraden g.
Einsetzen der Koordinaten von $P_2$ in die Geradengleichung führt zu einer falschen Aussage $\left(3=2\cdot 1-3=-1\right);$ folglich ist $P_2$ kein Punkt der Geraden g.

Fall 2: Die Gerade liegt als Parametergleichung vor.

• Beispiel 2: Es ist zu prüfen, ob die Punkte $P_1\left(4;5\right)und{P}_2\left(1;3\right)$ auf der Geraden g mit folgender Gleichung liegen:
  $g\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$

Einsetzen der Koordinaten von $P_1$ in die Geradengleichung ergibt:
$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$
Das führt zu folgendem Gleichungssystem mit einer eindeutig bestimmten Lösung r:
$\begin{array}{cc}4=2+3r& \Rightarrow r=\frac{2}{3}\\ 5=1+6r& \Rightarrow r=\frac{2}{3}\end{array}$
Der Punkt $P_1\left(4;5\right)$ liegt auf der Geraden g.
Einsetzen der Koordinaten von $P_2$ in die Geradengleichung führt über
$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$
zu:
$\begin{array}{cc}1=2+3r& \Rightarrow r=-\frac{1}{3}\\ 3=1+6r& \Rightarrow r=\frac{1}{3}\end{array}$
Man erhält keine Lösung für r, der Punkt $P_2$ liegt damit nicht auf der Geraden g.

Punkte und Geraden des (dreidimensionalen) Raumes

Für Punkte des Raumes ${ℝ}^3$ werden die Betrachtungen analog mit den (in Parameterdarstellung gegebenen) Geradengleichungen durchgeführt.

• Beispiel 3: Es ist zu prüfen, ob der Punkt $P_1\left(1;2;4\right)$ auf der Geraden g mit folgender Gleichung liegt:
  $g\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Einsetzen der Punktkoordinaten in die Geradengleichung liefert
$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
und damit nachstehendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{cc}(I)& 1=1+2r\\ (II)& 2=r\\ (III)& 4=r\end{array}$
Die Gleichungen (II) und (III) widersprechen einander, also liegt $P_1$ nicht auf g.

• Beispiel 4: Es ist zu prüfen, ob der Punkt $P_2\left(7;3;3\right)$ auf der Geraden g des Beispiels 3 liegt.

In diesem Fall erhält man folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{cc}(I)& 7=1+2r\\ (II)& 3=r\\ (III)& 3=r\end{array}$
Es ist zu erkennen, dass $r=3$ alle drei Gleichungen erfüllt. Damit liegt $P_2$ auf der Geraden g.

Vektoren, deren Repräsentanten auf einer Geraden bzw. auf parallelen Geraden liegen, werden als kollineare Vektoren bezeichnet.