Der Satz von ROLLE

Für eine Reihe von Aufgabenstellungen der Differenzialrechnung, z.B. bei Kurvendiskussionen (Untersuchung des Monotonieverhaltens, der Existenz lokaler Extrema, des Vorhandenseins von Wendepunkten und des Krümmungsverhaltens von Funktionen) oder beim Berechnen von Näherungswerten von Funktionen sind die so genannten globalen Sätze von besonderer Bedeutung.
Zu diesen zählen unter anderem der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung und der nachstehend betrachtete Satz von ROLLE.

Der nach dem französischen Mathematiker MICHEL ROLLE (1652 bis 1719) benannte Satz besagt Folgendes:

Ist eine Funktion f im abgeschlossenen Intervall $[a; b]$ stetig und im offenen Intervall $] a; b [$ differenzierbar mit $f (a) = f (b)$ , dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, also $c \in] a; b [$ , so dass $f^{'} (c) = 0$ ist.

Beweis des Satzes von ROLLE

Man unterscheidet beim Beweis zwei Fälle.

Fall: f ist in $[a; b]$ konstant
Es gilt also $f (x) = k$ für jedes $x \in [a; b]$ und damit $f^{'} (x) = 0$ für alle $x \in [a; b]$ .
Fall: f ist in $[a; b]$ nicht konstant

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte für die Funktionswerte $f (x) > f (a) f ü r a < x < b$ . Da f in $[a; b]$ stetig ist, nimmt f in $[a; b]$ einen größten Wert $f (x_{0}) = M$ an.

Figur zum Satz von ROLLE

Für genügend kleines $h > 0$ gilt:
$\begin{array}{l} f (x_{0} - h) - f (x_{0}) \leq 0 f (x_{0} + h) - f (x_{0}) \leq 0 \\ \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{- h} \geq 0 \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \leq 0 \end{array}$

Strebt h nun gegen null, so folgt hieraus $f^{'} (x) = 0$ .
Im Falle $f (x) < f (a) f ü r a < x < b$ wird analog gefolgert.

Einen Spezialfall des Satzes von ROLLE erhält man für $f (a) = f (b) = 0$ :

Zwischen zwei Nullstellen a und b einer Funktion f, die in $[a; b]$ stetig und in $] a; b [$ differenzierbar ist, liegt mindestens eine Nullstelle von $f^{'} (x)$ .

Geometrisch bedeutet der Satz von ROLLE, dass es mindestens einen Kurvenpunkt in $] a; b [$ gibt, dessen Tangente parallel zur
x-Achse ist.

Wir betrachten noch zwei Beispiele zum Satz von ROLLE und zu seiner Anwendung.

Beispiel 1: Die Funktion $f (x) = \sin x$ ist ein Beleg dafür, dass man im Satz von ROLLE nicht formulieren darf, dass genau eine Zahl $x_{0} m i t a < x_{0} < b u n d f^{'} (x_{0}) = 0$ existiere.

Betrachtet man $f (x) = \sin x$ in $[0; 2 π]$ , dann erfüllt f die Voraussetzungen des Satzes von ROLLE. Die Ableitungsfunktion ist $f^{'} (x) = \cos x$ . Für $f^{'} (x) = 0$ erhält man $\cos x = 0$ , woraus $x_{1} = \frac{π}{2} u n d x_{2} = \frac{3 π}{2}$ folgt.

Beispiel zum Satz von ROLLE

Beispiel 2: Für die Funktion $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ist im Intervall $[- 2; 4]$ eine Stelle $x_{0}$ so zu bestimmen, dass die Tangente in $x_{0}$ an die Funktion f parallel zur x-Achse ist.

Für $f^{'} (x)$ erhält man $f^{'} (x) = 2 x - 2$ . Aus $f^{'} (x) = 0$ folgt $2 x_{0} - 2 = 0$ und demzufolge $x_{0} = 1$ .

Mit anderen Worten: An der Stelle $x_{0} = 1$ besitzt die Funktion $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ eine zur x-Achse parallele Tangente.

Beispiel zum Satz von ROLLE

Stand: 2010
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