Die Kettenlinie

Unter dem Einfluss ihres Eigengewichtes nimmt eine Kette (oder ein Seil) bei Aufhängung an zwei nicht übereinanderliegenden Punkten bei Ruhe die Form einer Kettenlinie an. Diese hängt von der Lage der Aufhängepunkte und der Länge der Kette, nicht jedoch von ihrem Gewicht pro Längeneinheit ab.

Die Art und Weise, wie man heute dieses Problem angeht, sei im Folgenden skizziert (sie entspricht etwa dem Weg, den JOHANN BERNOULLI seinerzeit gegangen ist).

Die Kraft, die eine Kette spannt, ist ihr eigenes Gewicht G. Da die Kette im Gleichgewicht ist, sind die Kraftkomponenten in x-Richtung gleich, d.h., es ist $F_1^x=F_2^x=c$.

Es gilt:
$f\text{'}(x_1)=\frac{F_1^y}{F_1^x}=\frac{F_1^y}{c}bzw.f\text{'}(x_2)=\frac{F_2^y}{F_2^x}=\frac{F_2^y}{c}$

Damit ergibt sich:
$F_1^y=f\text{'}(x_1)\cdot cund{F}_2^y=f\text{'}(x_2)\cdot c$

Allgemein findet man für $x_1=x$ und $x_2=x+dx$ (vgl. die einleitende Bemerkung):
$F(x+dx)-F(x)=G$

Bezeichnet H den als konstant angenommenen Durchmesser der Kette, $\gamma$ das spezifische Gewicht des Materials und ds das Bogenelement, so lässt sich das Gewicht G des Kettenstücks zwischen x und $x+dx$ schreiben als
$G=\gamma \cdot H\cdot ds=\gamma \cdot H\cdot \left(\sqrt{1+{\left[f\text{'}(x\right]}^2}dx\right)$.

Insgesamt findet man:
$\begin{array}{l}c\cdot \left[f\text{'}(x+dx)-f\text{'}(x)\right]=\gamma \cdot H\cdot \sqrt{1+{\left[f\text{'}(x\right]}^2}dx\\ c\cdot \frac{f\text{'}(x+dx)-f\text{'}(x)}{dx}=\gamma \cdot H\cdot \sqrt{1+{\left[f\text{'}(x\right]}^2}\\ c\cdot f\text{'}\text{'}(x)=\gamma \cdot H\cdot \sqrt{1+{\left[f\text{'}(x\right]}^2}\\ \frac{f\text{'}\text{'}(x)}{\sqrt{1+{\left[f\text{'}(x\right]}^2}}=\frac{\gamma \cdot H}{c}\end{array}$

Das ist die Differenzialgleichung der Kettenlinie in moderner Schreibweise. Die BERNOULLIS benutzten eine Integralform dieser Gleichung, nämlich $\frac{dy}{dx}=\frac{\gamma \cdot H}{c}\cdot s$.

Die Lösung ist
$\frac{a}{2}\cdot \left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)=a\cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right)mita=\frac{c}{\gamma \cdot H}$,
also die sogenannte Kettenlinie (oder der Cosinus hyperbolicus).