Das Mischungsrechnen

Das Mischen von Lösungen unterschiedlicher Konzentrationen oder das Verdünnen hoch konzentrierter Lösungen sind alltägliche Aufgaben z. B. in der chemischen Analytik oder in der chemischen Industrie. Dabei muss man schnell berechnen können, welche Konzentrationen die erhaltene Lösung besitzt oder welche Ausgangslösungen eingesetzt werden müssen, um zum gewünschten Ergebnis zu gelangen.

Konzentrationsangaben

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Dabei muss man schnell berechnen können, welche Konzentrationen die erhaltene Lösung besitzt oder welche Ausgangslösungen eingesetzt werden müssen, um zum gewünschten Ergebnis zu gelangen.

Den Gesamtgehalt w(i) eines Stoffes in einer Mischung oder das Massenverhältnis

m_{1} : m_{2},

in dem die Teillösungen gemischt werden müssen, können mithilfe der Mischungsgleichung berechnet werden.

Mischungsgleichung ür ein Gemisch aus zwei Lösungen:

$\begin{array}{l} m_{1} \cdot ω_{1} (i) + m_{2} \cdot ω_{2} (i) = (m_{1} + m_{2}) \cdot ω (i) \\ m_{1}, m_{2} - Masse der Lösungen 1 und 2 \\ ω_{1} (i), ω_{2} (i) - Massenanteile der Komponente i in den Teillösungen \\ ω (i) - Massenanteil der Komponente i in der Mischung \end{array}$

Beispiel:

Handelsübliche konzentrierte Salzsäure enthält 37 Gew.-% Chlor-wasserstoff. Mit destilliertem Wasser soll daraus 1 kg Salzsäure mit mit einem Massenanteil von 5 Gew.-% hergestellt werden.
In welchem Verhältnis muss man die Säure verdünnen?

Analyse:
Die Summe der Massen Salzsäure $m_{1}$ und Wasser $m_{2}$ beträgt 1 kg. Die Beziehung $m_{2} = 1 kg - m_{1}$ setzt man in die Mischungsgleichung ein und stellt nach $m_{1}$ um. Da Wasser keinen Chlorwasserstoff enthält, beträgt $ω_{2} (HCl) = 0$ . Dementsprechend vereinfacht sich die Rech-nung mit der Mischungsgleichung.

$\begin{array}{l} G e s u c h t : m_{1} : m_{2} \\ G e g e b e n : ω_{1} (HCl) = 0,37 \\ ω_{2} (HCl) = 0 \\ ω (HCl) = 0,05 \\ m_{1} + m_{2} = 1 kg \\ Lösung: m_{2} = 1 kg - m_{1} \\ m_{1} \cdot ω_{1} (i) + (1 kg - m_{1}) \cdot ω_{2} (i) = 1 kg \cdot ω (i) \\ m_{1} = \frac{1 kg \cdot ω (i) - 1 kg \cdot ω_{2} (i)}{ω_{1} (i) - ω_{2} (i)} \\ m_{1} = \frac{1 kg \cdot 0,05 - 0}{0,37 - 0} = \frac{0,05 kg}{0,37} \\ m_{1} = 135 g m_{2} = 1 kg - m_{1} = 865 g \\ m_{1} : m_{2} = 1 : 6,4 \end{array}$

Ergebnis:
Um eine 5 Gew.-%ige Salzsäure herzustellen, gibt man 865 g Wasser in ein Becherglas und fügt vorsichtig 135 g konzentrierte 37 Gew.-%ige Salzsäure dazu.

Eine spezielle Form der ist das Mischungsgleichung Mischungskreuz :

$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{ω (i) - ω_{2} (i)}{ω_{1} (i) - ω (i)}$

Mit dem Mischungskreuz kommt man schneller zum gleichen Ergebnis, die Gefahr, Fehler zu machen ist jedoch größer (Rechenbeispiel). Insbesondere, wenn man mit Stoffmengenkonzentrationen statt mit Massenanteilen rechnet, kann es aufgrund der unterschiedlichen Dichte der Lösungen zu Fehlern kommen.

Nach beiden Methoden können
a)	die Konzentration eines aus reinen Stoffen herzustellenden Gemisches oder
b)	die Verdünnung einer bestehenden Lösung meist mit Wasser oder
c)	die Konzentration eines Gemisches aus zwei Lösungen berechnet werden. Dabei werden die Konzentrationen der gegebenen und gewünschten Lösung (in Masseprozent) sowie die Masseanteile der beteiligten Stoffe ins Verhältnis zueinander gesetzt.

Das Verdünnen einer konzentrierten Lösung bzw. das Lösen eines Feststoffs in einem Lösungsmittel wie Wasser sind Spezialfälle des Mischens. In beiden Fällen bleibt die Masse bzw. die Stoffmenge des gelösten Stoffes konstant.

$\begin{array}{l} {m(i)}_{vor} {= m(i)}_{nach} {= m(i)}_{gesamt} bzw . \\ {n(i)}_{vor} {= n(i)}_{nach} {= n(i)}_{gesamt} \end{array}$

Beim Mischen zweier Lösungen ergibt sich die Masse bzw. Stoffmenge des gelösten Stoffes aus der Summe der in den Ausgangslösungen vorhandenen Massen.

$\begin{array}{l} m_{gesamt} {= m}_{1(vor)} {+ m}_{2(vor)} {= m}_{nach} bzw . \\ n_{gesamt} {= n}_{1(vor)} {+ n}_{2(vor)} {= n}_{nach} \end{array}$

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