Fehlerbetrachtungen

Fehler bei physikalischen Messungen

Jede Messung einer physikalischen Größe ist aus den verschiedensten Gründen mit Fehlern behaftet. Der Messwert $x_i$ einer physikalischen Größe weicht also vom tatsächlichen Wert der Größe, wahrer Wert  x genannt, mehr oder weniger stark ab. Um möglichst genaue Messungen durchführen zu können bzw. um die Genauigkeit bereits durchgeführter Messungen einschätzen zu können, muss man die Ursachen für Messfehler, die Größen solcher Fehler und ihre Auswirkungen auf die Genauigkeit des Ergebnisses kennen. Darüber hinaus muss man wissen, wie man in der Formulierung des Ergebnisses die Genauigkeit kenntlich macht.

Ursachen für Messfehler

Messfehler können ihre Ursachen haben

• in der Experimentieranordnung,
• in den Messgeräten bzw. Messmitteln,
• beim Experimentator,
• in der Umgebung, in der das Experiment (die Messung) durchgeführt wird.

Es spielen also sowohl objektive und vom Experimentator nicht zu beeinflussende als auch subjektive und beeinflussbare Faktoren eine Rolle.
In der nachfolgenden Übersicht sind einige Beispiele für Fehlerursachen genannt.
Aus der Übersicht ist ersichtlich, dass es bei jedem Experiment zahlreiche Fehlerursachen und damit auch viele mögliche Fehler gibt. Eine genauere Analyse zeigt, dass man alle diese Fehler zu wenigen Fehlerarten zusammenfassen kann (Bild 2).

Hinweis:
Bei Vorliegen einer sehr großen Anzahl von Messwerten ergibt sich für die Häufigkeitsverteilung der Messwerte eine Normalverteilung nach GAUSS (gaußsche Glockenkurve, s. Bild 3).
Es liegen dann 68,3 % der Messwerte im Bereich $\overline{x}$±  $\Delta x$ und 95,4 % im Bereich $\overline{x}\pm 2\Delta \overline{x}$.

Abschätzung des Größtfehlers

Der Fehler beim Messen einer physikalischen Größe ergibt sich aus den zufälligen und den nicht erfassbaren systematischen Fehlern. Bei einer direkt messbaren Größe erhält man als Größtfehler:

$\Delta x=\pm \left(\left|\Delta x_{zuf}\right|+\left|\Delta x_{sys}\right|\right)$

Liegt für die Größe eine Messreihe vor, so wird als zufälliger Fehler $\Delta x_{zuf}$ der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels $\Delta \overline{x}$eingesetzt.

Darstellung von Ergebnissen
Kennt man den Messwert x und Messfehler $\Delta \overline{x}$ einer Größe, so kann man den Fehler als absoluten Fehler, als relativen Fehler oder als prozentualen Fehler angeben.

Der absolute Fehler $\Delta x$ ist ein Maß für die Abweichung der Messwerte vom wahren Wert.

Der relative Fehler $\Delta x$/ x verdeutlicht die Abweichung in Bezug auf den Messwert und ist Ausdruck für die Güte einer Messung.

Der prozentuale Fehler ($\Delta x$/ x) % ist der in Prozent angegebene relative Fehler.
Die Zusammenhänge sind in der Übersicht unten auch am Beispiel verdeutlicht.
Die Angabe des Messergebnisses $x_E$ erfolgt in folgender Form:

$x_E=x\pm \Delta x$

Für das in der Übersicht unten dargestellte Beispiel würde das Ergebnis lauten: t = 7,6 s ± 0,2 s oder t = (7,6 ± 0,2) s

Allgemein gelten bei der Verknüpfung von Größen die nachfolgend genannten Zusammenhänge:

Fehlerfortpflanzung

Wenn z. B. der elektrische Widerstand eines Bauelements bestimmt werden soll, kann man Stromstärke und Spannung messen und den Widerstand nach der Gleichung R = U/I berechnen. U und I sind fehlerbehaftet. Ähnlich ist das bei der Bestimmung der Geschwindigkeit durch Weg- und Zeitmessungen oder bei der Addition von fehlerbehafteten Geschwindigkeiten oder Kräften.
Die Fehler bei den einzelnen gemessenen Größen führen zu Fehlern bei den berechneten Größen. Wie sich die Fehler von gemessenen Größen auf den Fehler einer daraus berechneten Größe auswirken, zeigt die Übersicht oben.

Beispiel:
Die Geschwindigkeit wird durch Messung von Weg und Zeit ermittelt.
Dabei erhält man folgende Werte:

Damit erhält man als Geschwindigkeit:

$v=\frac{s}{t}$

v $=\frac{20m}{\mathrm{1,6}s}$

v = 12,5 m/s = 45 km/h

Als Fehler ergibt sich bei einem Quotienten:

$\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta s}{s}+\frac{\Delta t}{t}$

$\frac{\Delta v}{v}=$ $\frac{\pm \mathrm{0,5}m}{20m}+\frac{\pm \mathrm{0,2}s}{\mathrm{1,6}s}$

$\frac{\Delta v}{v}=$ ± 0,15 = 15 %

Mit v = 45 km/h ist dann:

$\Delta v$ = ± 6,75 km/h $\approx$ 7 km/h

Das Ergebnis lautet somit: Die Geschwindigkeit
beträgt

v = (45 ± 7) km/h.

Sie hat also einen Fehler von 15 %. Bei den Ergebnissen ist eine sinnvolle Rundung vorzunehmen. Fehler werden immer aufgerundet.

Eine erste Möglichkeit der genaueren Bestimmung des Verlaufs der Ausgleichskurve wäre, für jeden Messpunkt den Größtfehler des Weges in Form eines Fehlerbalkens zu markieren (Bild 5). Die Ausgleichskurve verläuft dann durch die Fehlerbalken hindurch. Im Beispiel haben wir für den Weg einen Fehler von $\Delta s$ = ± 2,5 m angenommen.
Die Funktionskurve der Ausgleichskurve lässt sich auch berechnen. Nehmen wir an, dass für sie die Gleichung

y = ax + b

gilt, dann kann man a bzw. b folgendermaßen berechnen:

$a=\frac{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i\cdot y_i}\right)-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i^2}\right)-n\cdot {\overline{x}}^2}$

$b=\overline{y}-a\cdot \overline{x}$

Die Berechnung ergibt:

a = 6,5
b = 29,3

Die Gleichung für die Ausgleichsgerade lautet somit:

y = 6,5 · x + 29,3

Liegt ein nichtlinearer Sachverhalt vor und besteht eine Vermutung über die Art der Abhängigkeit, so kann man einen nichtlinearen Zusammenhang durch geschickte Wahl der Achsengrößen auf einen linearen Zusammenhang zurückführen.

Fehlerbetrachtung vor und nach Messungen
Fehlerbetrachtungen haben sowohl vor der Durchführung von Messungen als auch in Auswertung von Messungen ihre Bedeutung.
Besteht das Ziel der Messungen darin, eine physikalische Größe möglichst genau zu messen, so muss man vor der Messung u. a. folgende Fragen beantworten:

• Welches Messverfahren wähle ich?
• Wodurch können Messfehler verursacht werden?
• Gibt es Möglichkeiten, Fehler zu korrigieren, zu kompensieren oder zu minimieren?
• Welche Größen müssen besonders genau gemessen werden, weil ihr Fehler den Fehler des Gesamtergebnisses besonders stark beeinflusst?
• Ist es sinnvoll, eine Probemessung oder eine Kontrollmessung durchzuführen?
• Reicht eine einmalige Messung oder ist es zweckmäßig, die Messungen so oft zu wiederholen, dass eine statistische Auswertung (Fehlerrechnung) gemacht werden kann?

Beachte:
Die Genauigkeit von Messungen kann zumeist nur vor oder während der Messung beeinflusst werden. Deshalb sollte man Fehlerbetrachtungen schon vor Beginn der Messungen durchführen.

Nach der Durchführung der Messungen kann man in der Regel nur noch abschätzen, wie genau man gemessen hat, also folgende Fragen beantworten:

• Welche zufälligen und systematischen Fehler sind tatsächlich aufgetreten?
• Wie groß sind die einzelnen Fehler und die Größtfehler bei den einzelnen gemessenen Größen?
• Wie beeinflussen diese Fehler das Messergebnis? Wie groß ist der Fehler der zu bestimmenden Größe?

Beispiel: Die Fallbeschleunigung
Als Beispiel betrachten wir ein Experiment zur Bestimmung der Fallbeschleunigung g. Diese Naturkonstante kann man z. B. mithilfe eines Fadenpendels unter Nutzung der Gleichung

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

bestimmen, indem man für ein Fadenpendel der Länge l die Schwingungsdauer T misst und die Fallbeschleunigung mit der Gleichung

$g=\frac{4{\pi }^2\cdot l}{T^2}$

berechnet. Bei einer solchen Bestimmung der Fallbeschleunigung hängt der Messfehler von der Genauigkeit der Längenmessung und der Genauigkeit der Zeitmessung ab, wobei der Fehler der Zeitmessung mit dem Faktor 2 eingeht. Beträgt der absolute Fehler der Längenmessung des Pendels $\Delta l$ und der absolute Fehler der Messung der Schwingungsdauer $\Delta T$, so ergibt sich als Fehler für die Fallbeschleunigung g:

$\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta l}{l}+2\cdot \frac{\Delta T}{T}$

Bei l = 70,0 cm mit $\Delta l$ = ± 1 cm und T = 1,64 s mit $\Delta T$ = ± 0,2 s erhält man:

$\frac{\Delta g}{g}=\frac{\pm 1\text{cm}}{\mathrm{70,0}\text{cm}}+2\cdot \frac{\pm \mathrm{0,2}\text{s}}{\mathrm{1,64}\text{s}}$

$\frac{\Delta g}{g}=$ ± 0,26 oder 26 %

Eine andere Möglichkeit der Bestimmung der Fallbeschleunigung ist die über den freien Fall eines Körpers (Bild 1), die nachfolgend ausführlich dargestellt ist. Genutzt werden dabei die Gesetze des freien Falles.
Für den freien Fall gilt:

$s=\frac{g}{2}{t}^2$

Damit kann der Wert für die Fallbeschleunigung experimentell bestimmt werden. Dazu wird die obige Gleichung nach der Fallbeschleunigung g umgestellt:

g $=\frac{2s}{t^2}$

Weg und Zeit für den freien Fall eines Körpers müssen gemessen werden. Um einen möglichst genauen Wert für g zu erhalten, sollte die zu messende Fallzeit und damit der Fallweg nicht zu klein sein. Die Fallzeit wird mehrmals gemessen und anschließend ein Mittelwert berechnet. Die Auslösung des freien Falles erfolgt mit einem Magnetschalter, die Zeitmessung mit einer elektronischen Uhr (Bild 1).

Durchführung:
Der Fallweg beträgt s = 0,95 m.

Auswertung:
Aus der Messreihe für die Zeit kann folgender Mittelwert berechnet werden:

$\overline{t}$ $=\frac{\mathrm{4,46}s}{10}=\mathrm{0,446}s$

Für die Fallbeschleunigung errechnet man damit:

g $=\frac{2\cdot \mathrm{0,95}m}{{\left(\mathrm{0,46}\right)}^2\cdot s^2}$ g$=\mathrm{9,55}\frac{m}{s^2}$

Der experimentell ermittelte Wert stimmt relativ gut mit dem Tabellenwert (9,81 $m/s^2$) überein.

Der Messwert ist brauchbar, wenn der in diesem Falle bekannte genaue Wert im Fehlerintervall liegt.

Wir stellen nachfolgend die Überlegungen zur Messgenauigkeit und zum Fehlerintervall dar. Die Überlegungen sind ebenfalls in der Schrittfolge Vorbereitung - Durchführung - Auswertung dargestellt.

Vorbereitung:
Die Fallbeschleunigung wird nach g = 2$s/t^2$ bestimmt, also sind Fallweg und Fallzeit zu messen.
Die Messung des Fallweges erfolgt mit einem Lineal mit cm-Teilung.
Zu beachten ist auch, dass die Entfernung von der Unterkante des Körpers bis zum Kontakt gemessen wird. Dabei können Parallaxefehler auftreten. Insgesamt dominieren bei der Wegmessung die zufälligen Fehler. Eine Mehrfachmessung mit Mittelwertbildung wäre sinnvoll.
Die Fallzeit muss besonders genau gemessen werden, da ihr Fehler mit dem Faktor 2 eingeht. Die Genauigkeit der Zeitmessung ist bei der Experimentieranordnung nicht beeinflussbar und im Wesentlichen durch die Genauigkeitsklasse des Messgerätes bestimmt. Da aber beim Fall zufällige Einflüsse (z. B. Luftbewegung) auftreten können, ist eine Messreihe mit anschließender Mittelwertbildung zweckmäßig.

Durchführung:
Es ist besonders darauf zu achten, dass sich während aller Messungen der Zeit der eingestellte Fallweg nicht verändert. Treten offensichtliche „Ausreißer“ auf, so kann man diese herausfallen lassen.

Auswertung:
Es können die Größtfehler bei der Messung von Fallweg und Fallzeit abgeschätzt und der Größtfehler der Fallbeschleunigung ermittelt werden.
Für den Fallweg ist der mögliche Ablesefehler entscheidend.
Bei einer cm-Teilung beträgt er:

$\Delta s_{zuf.}=$± 0,5 cm

Nimmt man beim Lineal einen Gerätefehler von ± 1 % an, dann bedeutet das bei einer Messstrecke von ca. 1 m einen Fehler von:

$\Delta s_{sys.}=$± 1 cm

Der Größtfehler beträgt demzufolge:

$\Delta s$ = ± 1,5 cm

Für die elektronische Zeitmessung ist die Genauigkeitsklasse des Messgerätes entscheidend. Sie beträgt 1,0 bei einem Messbereich von 1 s, also beträgt der absolute Fehler 0,01 s. Nimmt man bei dem auf Hundertstel genau anzeigenden Zeitmesser noch einen zufälligen Fehler von 0,01 s an, dann ist:

$\Delta t$= 0,02 s

Aus g = 2$s/t^2$ erhält man nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung für den absoluten Fehler der Erdbeschleunigung:

$\frac{\Delta g}{g}=$ $\frac{\Delta s}{s}+2\cdot \frac{\Delta t}{t}$

Mit den in der obigen Tabelle genannten Werten ergibt sich:

$\frac{\Delta g}{g}=$ $\frac{\pm \mathrm{1,5}cm}{95cm}+2\cdot \frac{\pm \mathrm{0,02}s}{\mathrm{0,44}s}$ $\frac{\Delta g}{g}=$± 0,11

Der relative Fehler beträgt 11 %, der absolute Fehler ± 1,1 $m/s^2$.

Als Ergebnis könnte man angeben:

g = (9,55 ± 1,1) $m/s^2$

Anmerkung:
Bei den angegebenen Werten dominiert mit ca. 9 % der Fehler der Zeitmessung. Selbst bei Annahme eines Messfehlers bei der Zeitmessung von 0,01 s würde der relative Fehler von g immer noch 4,5 % oder ± 0,44 $m/s^2$betragen. Auch dann würde der Tabellenwert im Fehlerintervall liegen.