Zentraler gerader unelastischer Stoß

Gesetze für den zentralen unelastischen Stoß

Wir betrachten als Beispiel einen zentralen unelastischen Stoß zwischen zwei Wagen (Bild 2). Beim Stoß kleben die beiden Wagen aneinander und fahren mit der gleichen Geschwindigkeit weiter. Die gesamte Anordnung betrachten wir als ein abgeschlossenes System, vernachlässigen damit auch den Einfluss von Reibuntgseffekten.
Für eine solche Anordnung gilt der Impulserhaltungssatz:

$\begin{array}{l}{m}_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+m_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2=(m_1+m_2)\overrightarrow{u}\\ \text{Betrachten wir zur Vereinfachung nur die Beträge und}\\ \text{gehen wir von der gleichen Bewegungsrichtung aus (Bild 2)}\text{,}\\ \text{so vereinfacht sich die Gleichung zu:}\\ m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2=(m_1+m_2)u\\ \text{Die Umstellung nach }u\text{ ergibt:}\\ u=\frac{m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2}{m_1+m_2}\end{array}$
Eine unterschiedliche Bewegungsrichtung der einzelnen Körper muss durch unterschiedliches Vorzeichen berücksichtigt werden. Dabei ist es wie in der Mathematik üblich, eine Bewegung nach rechts als positive Richtung anzusehen. In welcher Richtung sich die Körper nach dem Stoß gemeinsam weiterbewegen, hängt von den Impulsen beider Körper vor dem Stoß ab. Die gemeinsame Bewegung erfolgt immer in der Richtung, die der größere Impuls hat.

Energiebilanz beim zentralen unelastischen Stoß

Beim unelastischen Stoß gilt zwar der allgemeine Energieerhaltungssatz, nicht aber der Energieerhaltungssatz der Mechanik, da bei unelastischen Verformungen ein Teil der Energie in Verformungsenergie und in thermische Energie umgewandelt wird. Der auftretende „Verlust“ an mechanischer Energie ist ein Maß für die zerstörerische Wirkung des Stoßes.
Für die Energiebilanz bei einem solchen unelastischen Stoß gilt:

Die kinetische Gesamtenergie der Körper vor dem Stoß ist die Summe der kinetischen Energien der einzelnen Körper:

$E_{\text{kin}\text{, vor}}=\frac{1}{2}{m}_1\cdot v_1^2+\frac{1}{2}{m}_2\cdot v_2^2$

Nach dem Stoß haben beide Körper zusammen die kinetische Energie:

$E_{\text{kin}\text{, nach}}=\frac{1}{2}(m_1+m_2)u^2$

Damit ergibt sich für die Verringerung der kinetischen Energie:

$\begin{array}{l}\Delta E=E_{\text{kin}\text{, vor}}-E_{\text{kin}\text{, nach}}\\ \Delta E=\frac{1}{2}{m}_1\cdot v_1^2+\frac{1}{2}{m}_2\cdot v_2^2-\frac{1}{2}(m_1+m_2)u^2\\ \text{Setzt man für die gemeinsame Geschwindigkeit }u\text{ den }\\ \text{oben aus dem Impulserhaltungssatz gewonnenen Term}\\ \text{ein}\text{, so erhält man nach einer Reihe von Umformungen}\\ \text{die Gleichung:}\\ \Delta E=\frac{1}{2}\frac{m_1\cdot m_2}{m_1+m_2}{(}^{v_1}\end{array}$

Dabei gilt das Minuszeichen, wenn die Körper vor dem Stoß dieselbe Geschwindigkeitsrichtung hatten (Auffahrunfall), das Pluszeichen beim Frontalzusammenstoß. Bei sonst gleichen Bedingungen ist der Verlust an kinetischer Energie in diesem Fall größer. Bei einem Verkehrsunfall wird dieser Energiebetrag in „Deformationsenergie“ umgewandelt. Deshalb haben Frontalzusammenstöße eine so verheerende Wirkung!