Zeigerformalismus nach FEYNMAN

Die Photonenoptik behandelt die Lehre des Lichts unter Berücksichtigung der Annahme, dass dieses aus Teilchen, den sogenannten Photonen, besteht. Sie erklärt alle uns bekannten Phänomene der Strahlen- und Wellenoptik, was im Folgenden beispielhaft aufgezeigt werden soll.

Kennen wir den Ort eines Teilchens zum Zeitpunkt t0, so können wir mithilfe der Photonenoptik keine Aussage über den genauen Aufenthaltsort zur Zeit $t_1=t_0+\Delta t$ machen, sondern lediglich die Wahrscheinlichkeit des Photonenübergangs von einem Ort zum andern angeben. Entscheidend ist also die Frage, mit der sich übrigens die ganze Quantenmechanik beschäftigt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein physikalisches System vom Zustand 1 in den Zustand 2 übergeht? Konkret im Falle des betrachteten Photons: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Photon vom Ort 1 zum Ort 2 gelangt? Es sei betont, dass nicht bekannt ist, warum ein Lichtteilchen vom Ort 1 zum Ort 2 gelangt und ein anderes zu einem dritten Ort. Keiner weiß, wie sich ein Photon für einen Weg entscheidet, wir können lediglich die Wahrscheinlichkeit für eine gegebene Zustandsänderung angeben.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Photonenübergang

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Photonenübergangs vom Ort 1 zum Ort 2 skizziert man mehrere mögliche Strecken (Bild 1), die das Photon nehmen kann. Prinzipiell ist jede Verbindungslinie von 1 und 2 zugelassen. Später werden wir zeigen, dass lediglich die Verbindungsgerade und deren benachbarten Wege zur Wahrscheinlichkeit des Übergangs von 1 nach 2 beitragen.

Dem Anfangszustand (Photon befindet sich am Ort 1) wird ein Vektorpfeil beliebiger Länge und Richtung zugeteilt. Wir betrachten ihn als Zeiger einer Uhr, der sich beim Start des Photons vom Ort 1 sehr schnell zu drehen beginnt und beim Erreichen des Ortes 2 stoppt. Die Richtung des gestoppten Zeigers ist charakteristisch für den vom Photon genommenen Pfad, weshalb wir so jedem Weg ein Vektorpfeil zuordnen können. Aufgrund der unterschiedlichen Wegstrecken besitzen die Vektoren verschiedene Richtungen.
Das Quadrat der Länge eines Pfeils soll in unseren Betrachtungen stets der Wahrscheinlichkeit entsprechen, dass sich das Photon auf dem zum Vektor gehörenden Weg fortbewegte; man spricht von der Wahrscheinlichkeitsamplitude.
Jede Wegstrecke, die das Photon zum Erreichen des Zielortes zurücklegen kann, nehmen wir in unseren Betrachtungen als gleich wahrscheinlich an.

Die entscheidende Frage ist nun: Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit des Photonenübergangs von 1 nach 2? Die Rechenvorschrift ist nicht sehr kompliziert:
Wie bei einer üblichen Vektoraddition addiert man die Pfeile aller möglichen Wege, die das Photon nehmen kann. Das Quadrat des resultierenden Pfeils ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit der betrachteten Zustandsänderung.

Da jeder Pfad als gleichwahrscheinlich angenommen wird, haben alle Vektoren die gleiche Länge.
Die Pfeilrichtung für den Weg A können wir beliebig festlegen, die anderen schätzen wir unter Berücksichtigung der Wegstrecken ab. Die Strecken- und somit die Zeitunterschiede der Wege A, B, C, D sind relativ groß, weshalb die Pfeile in ganz unterschiedliche Richtungen zeigen. Im Gegensatz dazu sind die Längenunterschiede der Möglichkeiten D, E, F, G, H sehr gering, wodurch die entsprechenden Vektoren eine ähnliche Orientierung aufweisen. Bei der Vektoraddition tragen sie daher ganz wesentlich zum resultierenden Pfeil bei, wogegen sich die Vektoren der Wege A, B, C sowie I, J, K gegenseitig aufheben; sie „laufen im Kreis“ und haben dadurch nur einen unwesentlichen Einfluss auf die Vektoraddition (Bild 3).

Die Wahrscheinlichkeit für einen Photonenübergang von 1 nach 2 gibt uns das Quadrat des resultierenden Vektors. Das bedeutet, dass ausschließlich der geradlinige und dessen benachbarten Wege zur Wahrscheinlichkeit der betrachteten Zustandsänderung beitragen. Licht breitet sich also nahezu geradlinig aus. Nahezu, da auch die direkt benachbarten Wege einen wesentlichen Beitrag leisten.

Blockiert man die direkte Verbindung F durch einen kleinen Gegenstand, so nimmt die Intensität des Lichts am Ort 2 ab. Manche Photonen können sich jedoch um den Gegenstand „herumschummeln“, indem sie über einen Nachbarweg zum Zielort gelangen. Dieser Vorgang ist nichts anderes als die Lichtbeugung, die im Unterricht mittels der Wellentheorie erklärt wird.

Ist die Spaltbreite groß genug, damit sich das Licht auf den Wegen D, E , F, G, H (bzw. D’, E’, F’, G’, H’) ausbreiten kann, so ist Folgendes zu beobachten: Der am Ort 2 aufgestellte Empfänger registriert auftreffende Photonen, der Detektor an der Stelle 3 bleibt stumm. Erklären können wir diese Beobachtung wiederum durch Zeichnen der zu den Wegen gehörenden Pfeile, die dann zur Resultierenden zusammengesetzt werden müssen.
Analog zum zuvor besprochenen Fall beanspruchen die Wege D, E, F, G, H nahezu die gleichen Zeiten. Die zugehörigen Vektoren haben demnach eine ähnliche Richtungen und setzen sich zu einer großen Resultierenden zusammen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon von 1 nach 2 gelangt ist daher sehr groß, was durch das Klicken des Detektors bestätigt wird.
Eine andere Situation liegt bei den gestrichelten Wegen vor; sie weisen merkliche Zeitunterschiede auf, weshalb sich die Vektoren gegenseitig auslöschen (Bild 5). Die Wahrscheinlichkeit für eine Photonenwanderung von 1 nach 3 ist daher sehr gering. Infolgedessen kann der Detektor am Ort 3 keine Photonen registrieren.

Die Brennpunkteigenschaft der Sammellinse

Zum Abschluss soll die aus der Sekundarstufe I wohlbekannte Brennpunkteigenschaft einer Sammellinse durch die Photonenoptik erklärt werden.
Dazu denken wir uns eine Lichtquelle am Ort 1 und einen Photonendetektor am Ort 2. Für die Photonenbewegung sind in unserer Betrachtung nur die Wege zugelassen, die sich aus zwei Geraden gleicher Länge zusammensetzen (Bild 7).

Skizziert man das Zeit-Weg-Diagramm sowie den resultierenden Pfeil, so erhält man ähnliche Ergebnisse wie in Bild 2 und Bild 3 dargestellt. Zur Wahrscheinlichkeit des Photonenübergangs tragen also auch hier hauptsächlich der direkte Weg und seine benachbarten Pfade bei.

Wie lässt sich der Einfluss der äußeren, längeren Strecken erhöhen? Oder anders formuliert: Wie können wir erreichen, dass alle Wege die gleiche Zeit beanspruchen? (Dies würde eine wesentlich größere Resultierende und somit höhere Wahrscheinlichkeit des Übergangs zum Ort 2 bedeuten!)

Das Zeit-Weg-Diagramm mit den eingebrachten Glasstückchen ist eine Konstante, weshalb die einzelnen Pfeile alle die gleiche Richtung besitzen. Ihre Addition führt zu einer riesigen Resultierenden, d. h. die Wahrscheinlichkeit des Photonenübergangs von 1 nach 2 wird durch das Einbringen einer geeigneten Sammellinse stark erhöht (Bild 9).