Längenkontraktion

Als Beispiel betrachten wir dazu eine sehr schnell fliegende Rakete (Bild 2), die in den Punkten A und B zwei synchronisierte Lichtuhren mitführt. Die Rakete betrachten wir als Bezugssystem S'. Der Abstand zwischen A und B betrage l'. Das ist zugleich die Länge eines gegebenen Körpers im System S'. Die Rakete bewegt sich gegenüber einem System S, in dem sich eine Lichtuhr C befindet, mit der Geschwindigkeit v nach rechts.
Gemessen wird die Zeit des Vorbeifluges der Rakete an C von beiden Systemen aus.

Für das Bezugssystem S' ergibt sich:
$\begin{array}{l}\text{Die Zeit für den Vorbeiflug beträgt }\Delta t\text{'}.\text{ Damit ergibt sich}\\ \text{als Abstand bzw}\text{. Länge:}\\ \overline{AB}=l\text{'}=c\cdot \Delta t\text{'}\end{array}$

Für das Bezugssystem S ergibt sich aufgrund der Zeitdilatation:
$\begin{array}{l}\text{Die Zeit für den Vorbeiflug beträgt die kürzere Zeit }\Delta t.\\ \text{Damit ergibt sich der kleinere Abstand bzw}\text{. die kleinere Länge:}\\ \overline{AB}=l=c\cdot \Delta t\end{array}$

Allgemein gilt:
In seinem Ruhessystem hat ein Körper die größte Länge, die als Eigenlänge bezeichnet wird. In einem dazu bewegten System ist die Länge geringer.

Herleitung aus der LORENTZ-Transformation

In seinem Ruhesystem S' hat der Körper die Länge:
$l\text{'}=x_2\text{'}-x_1\text{'}$
Im Bezugssystem S hat der gleiche Körper die Länge
$l=x_2-x_1$
Sie wird zu einem bestimmten Zeitpunkt durch die Bestimmung des Endpunktes und des Anfangspunktes des Körpers festgelegt. Es gilt also dann für die Zeiten in S:
$t_1=t_2\text{oder}\Delta t=0$
Eine Anwendung der LORENTZ-Transformation ergibt:
$\begin{array}{l}{x}_1\text{'}=\frac{x_1-v\cdot t_1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}{x}_2\text{'}=\frac{x_2-v\cdot t_2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ \text{Damit erhält man als Länge:}\\ l\text{'}=x_2\text{'}-x_1\text{'}=\frac{(x_2-v\cdot t_2)-(x_1-v\cdot t_1)}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ \text{Mit}{t}_1=t_2\text{bzw}\text{.}\Delta t=0\text{ergibt sich:}\\ l\text{'}=\frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{l}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\end{array}$