Isobare Zustandsänderungen

Quantitative Zusammenhänge

Bei konstantem Druck gilt für den Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur:
$\frac{V}{T}=\text{konstant oder}\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$
Die zugeführte Wärme Q erzeugt bei einer isobaren Zustandsänderung eine Änderung der inneren Energie und des Volumens. Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik ergibt sich die Bilanz:
$Q=\Delta U-W$
Bei Verwendung des Modells ideales Gas kann die Volumenarbeit W, die das Gas zur Vergrößerung des Volumens um $\Delta V$ verrichtet, berechnet werden. Die Zustandsgleichung im Ausgangszustand ist:
$p\cdot V=N\cdot k\cdot T$
Nach Zuführung der Wärme Q erhöht sich die Temperatur des Gases $\text{um}\Delta T\text{und das Volumen um}\Delta V\text{.}$
Die Zustandsgleichung im Endzustand nach Aufnahme der Wärme Q ist daher:
$p\cdot (V+\Delta V)=N\cdot k\cdot (T+\Delta T)$
Die vom Gas verrichtete Volumenarbeit ist damit:
$W=-p\cdot \Delta V=-N\cdot k\cdot \Delta T$
In analoger Weise kann auch die Änderung der inneren Energie des idealen Gases berechnet werden (siehe dazu den Beitrag „Isochore Zustandsänderungen“). Bei einer Erhöhung der Temperatur um $\Delta T$ ist die Änderung der inneren Energie eines idealen Gases:
$\Delta U=\frac{3}{2}N\cdot k\cdot \Delta T$
Aus dem 1. Hauptsatzes kann damit die Wärme bestimmt werden, die für eine Temperaturerhöhung um $\Delta T$ des idealen Gases bei einer isobaren Prozessführung notwendig ist:
$Q=\frac{3}{2}N\cdot k\cdot \Delta T+N\cdot k\cdot \Delta T=\frac{5}{2}N\cdot k\cdot \Delta T$
Die Teilchenanzahl N kann durch die Stoffmenge n und die universelle Gaskonstante R ersetzt werden. Aus
$N=n\cdot N_A\text{und}R=N_A\cdot k$
ergibt sich für die Wärme:
$\begin{array}{l}Q=\frac{5}{2}n\cdot N_A\cdot k\cdot \Delta T=\frac{5}{2}n\cdot R\cdot \Delta T\\ Q=n\cdot C_{mp}\cdot \Delta T\end{array}$
Die Größe $C_{\text{mp}}$ , die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck, ist für alle einatomigen Gase konstant. Sie hat einen Wert von:
$C_{mp}=\frac{5}{2}R=\mathrm{20,8}\frac{\text{kJ}}{\text{K}\cdot \text{kmol}}$

Für zweiatomige Gase müssen bei der Berechnung der molaren Wärmekapazität neben den Freiheitsgraden der Translation auch zwei Freiheitsgrade der Rotation berücksichtigt werden, da sich die kinetische Energie der Teilchen gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade verteilt (Gleichverteilungssatz)
$C_{mp}=\frac{7}{2}R=\mathrm{29,1}\frac{\text{kJ}}{\text{K}\cdot \text{kmol}}$
Aus der molaren Wärmekapazität können auch theoretische Werte der spezifischen Wärmekapazitäten $c_{\text{p}}$ bei konstantem Druck einzelner Gase leicht bestimmt werden. Für das einatomige Helium ergibt sich z.B.:
$\begin{array}{l}{c}_p=\frac{C_{mp}}{M}\\ c_p=\frac{\mathrm{20,8}\text{kJ}\cdot \text{kmol}}{4\text{kg}\cdot \text{K}\cdot \text{kmol}}\\ c_p=\mathrm{5,2}\frac{\text{kJ}}{\text{K}\cdot \text{kg}}\end{array}$

Diese theoretisch berechneten Werte, stimmen mit den experimentell ermittelten Werten gut überein.
Durch die Einführung der spezifischen Wärmekapazität können die molaren und die molekularen Größen ersetzt werden durch direkt messbare Größen. Für die Wärme, die für eine Temperaturerhöhung eines einatomigen Gases bei einer isobaren Prozessführung notwendig ist, ergibt sich mit der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck:

$\begin{array}{l}{c}_{\text{p}}=\frac{C_{\text{mp}}}{M}\\ \text{und der molaren Masse}\\ M=\frac{m}{n}\\ \text{die Gleichung für die Wärme:}\\ Q=n\cdot C_{\text{mp}}\cdot \Delta T=m\cdot c_{\text{p}}\cdot \Delta T\\ n\text{Stoffmenge in mol}\\ C_{\text{mp}}\text{molare Wärmekapazität eines}\\ \text{einatomigen Gases}\\ \Delta T\text{Temperaturdifferenz}\\ m\text{Masse}\\ c_{\text{p}}\text{spezifische Wärmekapazität bei}\\ \text{konstantem Druck}\end{array}$