HALL-Effekt

Wovon ist die HALL-Spannung abhängig?

Der Betrag der HALL-Spannung hängt von der Stromstärke im Leiter, der magnetischen Flussdichte und der Dicke d des Leiters (Bild 1) ab. Sie kann berechnet werden mit der Gleichung:
$\begin{array}{l}{U}_{\text{H}}=R_{\text{H}}\cdot \frac{I\cdot B}{d}\\ R_{\text{H}}\text{HALL-Konstante}\\ I\text{Stromstärke im Leiter}\\ B\text{magnetische Flussdichte des Feldes}\text{, das den}\\ \text{Leiter senkrecht durchsetzt}\\ d\text{Dicke des Leiters}\end{array}$

Die HALL-Konstante ist eine stoffspezifische Materialkonstante. In Bild 2 sind die Werte für einige Stoffe angegeben.
Den genannten Zusammenhang kann man auch nutzen, um die magnetische Flussdichte B eines Magnetfeldes direkt zu messen. Eine solche Anordnung wird als HALL-Sonde bezeichnet. Dabei benutzt man Halbleiter, bei denen die HALL-Spannung wesentlich größer als bei Metallen ist.

Herleitung der Gleichung für die HALL-Spannung

Die oben genannte Gleichung kann folgendermaßen hergeleitet werden: Durch die vom Magnetfeld hervorgerufene Ladungsverschiebung wird zwischen Ober- und Unterkante des Leiters (Bild 1) ein elektrisches Feld hervorgerufen, dessen Feldstärke $E=U_{\text{H}}/B$beträgt. Die Elektronen werden solange abgelenkt, bis die Kraft des dadurch entstandenen elektrischen Feldes die LORENTZ-Kraft kompensiert. Dann gilt:

$\begin{array}{l}{F}_{\text{L}}=F_{\text{Feld}}\text{und damit}\\ e\cdot v\cdot B=e\frac{U_{\text{H}}}{b}\\ \text{Die Umstellung nach der HALL-Spannung ergibt:}\\ U_{\text{H}}=v\cdot B\cdot b\text{(1)}\\ \text{Die Driftgeschwindigkeit}v\text{der Elektronen kann man anders}\\ \text{ausdrücken}\text{, wobei die folgende Überlegung anzustellen}\\ \text{ist:}\\ \text{Für die Stromstärke im Leiter gilt:}\\ I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\text{(2)}\\ \text{Beträgt die Teilchendichte der Elektronen}n\text{und das}\\ \text{Volumen des Leiters}V\text{, dann kann man für die Ladung}\\ \Delta Q=n\cdot V\cdot e\text{und mit}V=b\cdot d\cdot l\text{auch}\\ \Delta Q=n\cdot b\cdot d\cdot l\cdot e\text{setzen}\text{. Einsetzen in (2) ergibt:}\\ I=\frac{n\cdot b\cdot d\cdot l\cdot e}{\Delta t}\text{und mit}\frac{l}{\Delta t}=v\\ I=n\cdot b\cdot d\cdot v\cdot e\\ \text{Die Umstellung nach}v\text{ergibt:}\\ v=\frac{I}{n\cdot b\cdot d\cdot e}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Setzt man diesen Ausdruck für}v\text{in die Gleichung (1) ein}\text{,}\\ \text{so erhält man:}\\ U_{\text{H}}=\frac{I\cdot B\cdot b}{n\cdot b\cdot d\cdot e}\text{oder}\\ U_{\text{H}}=\frac{1}{n\cdot e}\cdot \frac{I\cdot B}{d}\\ \text{Bezeichnet man den stoffspezifischen Term}\frac{1}{n\cdot e}\text{als}{R}_{\text{H}},\\ \text{so erhält man:}\\ U_{\text{H}}=R_{\text{H}}\cdot \frac{I\cdot B}{d}\end{array}$