Fahrphysik

Kräfte längs der Fahrtrichtung
Die wesentlichen Kräfte, die beim Fahren mit konstanter Geschwindigkeit überwunden werden müssen, sind die Rollreibungskraft und die Luftwiderstandskraft. Die zwischen Reifen und Straßenbelag auftretende Haftreibung ermöglicht erst die Änderung der Geschwindigkeit und der Fahrtrichtung.

Rollreibung
Durch das Abrollen des Rades auf der Fahrbahn erfolgt sowohl eine Verformung des Rades als auch der Fahrbahn (an den Spurrinnen erkennbar). Zusätzlich treten auch Reibungskräfte im Fahrzeug (z.B. Achslagerung) auf. Die Rollreibungskraft kann vereinfacht berechnet werden durch:
$F_{\text{rol}}={\mu }_{\text{rol}}\cdot m_{\text{F}}$
Die Rollreibungszahl ${\mu }_{\text{rol}}$ (auch Fahrwiderstandszahl oder Rollwiderstandskoeffizient genannt) hängt ab von

Die nachfolgende Übersicht zeigt Werte für die Rollreibungszahl für S-Reifen und Geschwindigkeiten unter 100 km/h.

Bei einer Kurvenfahrt nimmt durch die zusätzliche Verformung des Reifens die Rollreibung stark zu (bis zu 60 % bei Querbeschleunigungen von $\mathrm{2,5}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^{\text{2}}}$).

Für den Zusammenhang von Rollreibung und Kraftstoffverbrauch kann folgende Faustregel angewendet werden: Eine Absenkung der Rollreibungszahl um 6% führt zu einer Kraftstoffeinsparung um 1%.

Haftreibung
Die Deformierung der Reifen erfordert einerseits Arbeit (Rollreibung), ermöglicht aber andererseits erst die Kraftübertragung zwischen Fahrzeug und Fahrbahn beim Anfahren, Beschleunigen, Bremsen und in der Kurvenfahrt. Durch diese Deformierung verursachen Teile der Lauffläche, während sie unter Last abrollt, eine Relativbewegung zwischen Lauffläche und Fahrbahn. Damit entspricht die Umfangsgeschwindigkeit des Reifens nicht mehr der Fahrzeuggeschwindigkeit. Daraus kann das Längsgleiten, eine für die Beschreibung des Fahrverhaltens charakteristische Größe, bestimmt werden:

$\begin{array}{l}\lambda =\frac{v_{\text{F}}-v_{\text{R}}}{v_{\text{F}}}\\ \lambda \text{Längsgleiten}\\ v_{\text{F}}\text{Geschwindigkeit des Fahrzeugs}\\ v_{\text{R}}\text{Umfangsgeschwindigkeit des Reifens}\end{array}$

Zwischen der wirksamen Reibungszahl und dem Längsgleiten wurde der in Bild 6 dargestellte Zusammenhang ermittelt. Für die wirksame Reibungszahl gilt:

$\begin{array}{l}\mu =\frac{F_{\text{ü}}}{F_{\text{F}}}\\ F_{\text{ü}}\text{wirksam übertragene Kraft zwischen}\\ \text{Fahrzeug und Fahrbahn}\\ F_{\text{F}}\text{Gesamtgewicht des Fahrzeugs}\end{array}$

Beschleunigen, Bremsen und Kurvenfahrt
Wesentlichen Einfluss auf das Fahrverhalten eines Pkw hat die Achsbelastung. Diese wird von der Anordnung des Motors, von der Beladung sowie vom Radstand und der Spurweite bestimmt (Bild 8).

Radstand
Als Radstand wird der Abstand von der Mitte der Vorderachse bis zur Mitte der Hinterachse bezeichnet (Bild 8).
Ein im Vergleich zur Länge des Fahrzeuges großer Radstand gestattet eine günstige Unterbringung der Fahrgäste zwischen den Achsen und verringert den Einfluss der Beladung auf die Lastverteilung. Die Tendenz zu Nickschwingungen verringert sich und eine weichere Federung (erhöhter Fahrkomfort) lässt sich ermöglichen.
Ein kurzer Radstand erleichtert die Kurvengängigkeit, d. h. bei gleichem Einschlagwinkel der Räder ergibt sich ein kleinerer Wendekreis. Als Anhaltspunkt kann die Verhältniszahl

$k=\frac{\text{Radstand}{l}_{\text{r}}}{\text{Fahrzeuglänge}l}$

dienen, die so groß wie möglich sein sollte. In der nachfolgenden Übersicht sind einige charakteristische Werte angegeben.

Spurweite
Als Spurweite bezeichnet man den Abstand von der Mitte des linken zur Mitte des rechten Vorderrades bzw. von der Mitte des linken zur Mitte des rechten Hinterrades (Bild 8).
Die Spurweite hat maßgeblichen Einfluss auf das Kurvenverhalten des Fahrzeuges und seine Wankneigung. Sie soll möglichst groß sein, wird aber durch die Fahrzeugaußenmaße (z. B. Radkästen) begrenzt). Beim Pkw betragen die Spurweiten normalerweise

$1210\text{mm}\le s_{\text{V}\text{,H}}\le 1602\text{mm}$

Beschleunigen
Bild 10 zeigt die dynamische Achsbelastung beim Beschleunigen eines Fahrzeuges. Durch das Beschleunigen (Anfahren) greift eine Trägheitskraft am Fahrzeugschwerpunkt an und bewirkt ein Drehmoment:

$\begin{array}{l}M=h_{\text{S}}\cdot F_{\text{Be}}=l_{\text{r}}\cdot \Delta F\\ h_{\text{S}}\text{Höhe des Schwerpunktes}\\ F_{\text{Be}}\text{Trägheitskraft}\text{, die am Schwerpunkt angreift}\\ l_{\text{r}}\text{Radstand}\\ \Delta F\text{zusätzliche Kraft}\text{, die die Räder}\\ \text{belastet oder entlastet}\end{array}$

Dieses Drehmoment führt zur Drehung der Karosserie um den Drehpunkt D nach hinten und damit zur Entlastung der Vorderräder und Belastung der Hinterräder um die Kraft $\Delta F$. Diese Kraft kann bis zur 30% der ursprünglichen Achslast betragen. Diese Entlastung der Vorderräder kann bei Pkw mit Frontantrieb beim Beschleunigen mit maximalen Drehmoment zum Durchdrehen der Räder führen.

Bremsen
In analoger Weise führt die Karosserie beim Bremsen eine Drehbewegung nach vorn aus, wodurch die Vorderräder mit einer zusätzlichen Kraft $\Delta F$ belastet und die Hinterräder entsprechend entlastet werden.

Für eine besondere Fahrsituationen soll die Wirkung dieser dynamischen Achsbelastung auf den Beispiel-Pkw untersucht werden:

Vollbremung auf einer ebenen, trockenen Betonstraße mit einem mit zwei Personen besetzten Mittelklasse-Pkw

Unter der Annahme, die gesamte Haftreibungskraft könnte zum Bremsen genutzt werden, gilt:
$F_{\text{Br}}={\mu }_{\text{H}}\cdot \left(m_{\text{F}}+m_{\text{P}}\right)\cdot g=\mathrm{0,9}\cdot (900\text{kg}+140\text{kg})\cdot \mathrm{9,81}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^{\text{2}}}=\mathrm{9,18}\text{kN}$
Damit ergibt sich eine zusätzliche Kraft:
$\Delta F=\frac{h_{\text{S}}}{l_{\text{r}}}\cdot F_{\text{Br}}=\frac{\mathrm{0,60}\text{m}}{\mathrm{2,50}\text{m}}\cdot \mathrm{9,18}\text{kN}=\mathrm{2,35}\text{kN}$
Damit wird die Vorderachse mit
$F_{\text{V}}+\Delta F=\mathrm{6,11}\text{kN}+\mathrm{2,35}\text{kN}=\mathrm{8,46}\text{kN}$
und die Hinterachse mit
$F_{\text{H}}-\Delta F=\mathrm{4,09}\text{kN}-\mathrm{2,35}\text{kN}=\mathrm{1,74}\text{kN}$
belastet.

Bei einem normalen Pkw werden ungefähr 75 % der Bremskraft durch die Vorderradbremsen und 25 % durch die Hinterradbremsen aufgebracht. Diese kann aber bei dieser Belastung der Hinterachsen nicht auf die Straße übertragen werden, da gilt:
${\mu }_{\text{H}}\cdot \left(F_{\text{H}}-\Delta F\right)<\mathrm{0,25}\cdot F_{\text{Br}}$
Die Hinterräder würden blockieren. Eine kleine Bodenunebenheit kann in dieser Situation zum Ausbrechen des Fahrzeuges führen. Da die im Schwerpunkt angreifende Trägheitskraft des Gesamtfahrzeuges hinter den noch wirksam bremsenden Rädern angreift, tritt ein sich selbst verstärkendes Giermoment auf, wenn der Pkw die Fahrtrichtung nur geringfügig verlässt.

Die bei dieser Kurvenfahrt auftretende Zentrifugalkraft beträgt:
$F_{\text{Z}}=m_{\text{F}}\cdot \frac{v^2}{r}=(900\text{kg}+140\text{kg})\cdot \frac{{\left(25\frac{\text{m}}{{\text{s}}^{\text{2}}}\right)}^2}{150\text{m}}=\mathrm{4,33}\text{kN}$
Diese muss anteilmäßig (entsprechend ihrer jeweiligen Belastung) von den einzelnen Rädern durch Haftreibung aufgebracht werden. Insbesondere gilt für das rechte Hinterrad:
$\begin{array}{l}{F}_{\text{H}\text{,}\text{rechtes}\text{Hinterrad}}={\mu }_{\text{H}}\cdot \left(\frac{F_{\text{H}}}{2}-\Delta F\right)=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,42}\text{kN}\\ =\mathrm{0,38}\text{kN >}\mathrm{0,18}\text{kN}=\frac{\mathrm{0,42}\text{kN}}{\mathrm{10,20}\text{kN}}\cdot \mathrm{4,33}\text{kN}\end{array}$

Da diese Relation auch analog für die anderen Räder gezeigt werden kann, ist es möglich, die Kurve stabil zu durchfahren. Eine nur geringfügige Erhöhung der Geschwindigkeit von 90 km/h auf 105 km/h würde das rechte Hinterrad vollkommen entlasten, der Pkw würde bei Hinterradantrieb aus der Spur ausbrechen, da nur noch das linke Hinterrad eine Kraft auf die Straße überträgt.

Wird bei einer Kurvenfahrt zusätzlich noch gebremst, so tritt zu den bisher betrachteten Kräften eine weitere hinzu – die Bremskraft. Allen von den Reifen auf die Straße zu übertragenden Kräften muss eine entsprechende Gegenkraft, die Haftreibungreibungskraft, entgegenwirken, wenn das Fahrzeug sich stabil bewegen soll. Da die Haftreibung durch äußere Verhältnisse (Reifen, Fahrbahn) vorgegeben ist, ist sie maßgebend für die maximal übertragbare Kraft.

Das Zusammenwirken der Kräfte und ihre mögliche Größen lässt sich vereinfacht im sogenannten Kamm-Kreis (Bild 12) darstellen: Ist die resultierende Kraft größer als die Haftreibungskraft, dann beginnt das entsprechende Rad zu gleiten, die Fahrt wird instabil. Daraus ergibt sich, dass bei einer Kurvenfahrt die Bremskraft einen bestimmten Betrag nicht übersteigen darf:
$\begin{array}{l}{F}_{\text{Br}}\le \sqrt{F_{\text{H}}^2-F_{\text{Z}}^2}\\ F_{\text{Br}}\text{Bremskraft}\\ F_{\text{H}}\text{Haftreibungskraft}\\ F_{\text{Z}}\text{Zentrifugalkraft}\end{array}$

Beispiel: Berechnung der maximalen Bremskraft für einen mit zwei Personen besetzten Beispiel-Pkw
Der Pkw fährt mit v = 90 km/h auf einer ebenen, trockenen Betonstraße (Haftreibungszahl 0,9) um eine Kurve mit dem Radius 150 m. Wir gehen vereinfacht von der gleichen Belastung aller Räder aus.
$\begin{array}{l}{F}_{\text{Br}\text{, max}}=m_{\text{F}}\cdot \sqrt{{\left({\mu }_{\text{H}}\cdot g\right)}^2-{\left(\frac{v^2}{r}\right)}^2}\\ F_{\text{Br}\text{,}\text{max}}=(900\text{kg}+140\text{kg})\cdot \sqrt{{\left(\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{9,81}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^{\text{2}}}\right)}^2-{\left(\frac{{\left(25\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{150\text{m}}\right)}^2}\\ F_{\text{Br}\text{,}\text{max}}=\mathrm{8,10}\text{kN}\end{array}$

Bei Berücksichtigung der dynamischen Achsbelastung gilt:
Da das rechte Hinterrad am wenigsten belastet wird, kann von diesem auch die geringste Bremskraft übertragen werden.
Wird für die Größe $m_{\text{F}}$ in der Gleichung oben die scheinbar vom rechten Hinterrad zu tragende Masse
$m^{*}=\frac{\mathrm{0,42}\text{kN}}{\mathrm{9,81}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^{\text{2}}}}=\mathrm{42,8}\text{kg}$
eingesetzt, so ergibt sich analog der obigen Rechnung für die maximal vom rechten Hinterrad übertragbare Bremskraft 0,33 kN. Unter Berücksichtigung, dass beide Hinterräder immer eine gleich große Bremskraft und zusammen in der Regel 25% der Gesamtbremskraft aufbringen, ergeben sich für die Bremskraft der einzelnen Räder und der Gesamtbremskraft folgende Werte:

Dieser Wert entspricht ungefähr nur 30% der maximalen Bremskraft, die dieser Pkw auf gerader Strecke aufbringen könnte
($F_{\max }={\mu }_{\text{H}}\cdot m_{\text{F}}\cdot g=\mathrm{9,18}\text{kN}$).
Ein normales (für diese Situation aber zu starkes) Bremsen würde zum Blockieren des rechten Hinterrades und damit zum Ausbrechen des Wagens aus der Spur führen. Dieses Verhalten wird durch ein Antiblockiersystem (ABS) verhindert.