e/m-Bestimmung

Bestimmung der spezifischen Ladung mit dem Fadenstrahlrohr

Eine relativ einfache Bestimmung der grundlegenden Naturkonstanten e/m zu kann mithilfe eines sogenannten Fadenstrahlrohres erfolgen. Das ist eine kugelförmige evakuierte Röhre mit einem Füllgas, einer heizbaren Katode und einer Anode. Durch die Katode werden Elektronen emittiert, durch eine Spannung zwischen Katode und Anode beschleunigt und durch Blenden ein feiner Strahl, ein Elektronenstrahl, ausgeblendet. Durch Ionisation des Füllgases wird die Bahn des Elektronenstrahls sichtbar.
Bringt man das Fadenstrahlrohr so in ein homogenes Magnetfeld, dass die Bewegungsrichtung der Elektronen und die Richtung des Magnetfeldes senkrecht zueinander sind, dann wirkt die LORENTZ-Kraft als Radialkraft. Die Elektronen bewegen sich auf einer Kreisbahn (Bild 2). Das erforderliche homogene Magnetfeld erzeugt man durch HELMHOLTZ-Spulen.

Da die Radialkraft die LORENTZ-Kraft ist, kann man setzen:

$\begin{array}{l}\text{Radialkraft}=\text{LORENTZ-Kraft}\\ m\cdot \frac{v^2}{r}=e\cdot v\cdot B\\ \text{Die Divion durch}v\text{ergibt:}\\ m\cdot \frac{v}{r}=e\cdot B\text{(1)}\\ \text{Die Geschwindigkeit}v\text{ergibt sich aus der Beschleunigungsspannung}\\ \text{zwischen Katode und Anode zu:}\\ v=\sqrt{2U\cdot \frac{e}{m}}\text{(2)}\\ \text{Setzt man (2) in (1) ein}\text{, so erhält man:}\\ m\cdot \frac{\sqrt{2U\cdot \frac{e}{m}}}{r}=e\cdot B\\ \text{Quadrieren der Gleichung ergibt:}\\ m^2\cdot \frac{2U\cdot e}{r^2\cdot m}=e^2\cdot B^2\text{oder}\\ m\cdot \frac{2U}{r^2}=e\cdot B^2\\ \text{Durch Umstellen nach der spezifischen Ladung erhält man:}\\ \frac{e}{m}=\frac{2U}{r^2\cdot B^2}\\ U\text{Beschleunigungsspannung}\\ \text{(Spannung zwischen Katode und Anode)}\\ r\text{Radius der Kreisbahn}\\ B\text{magnetische Flussdichte im Feld der}\\ \text{HELMHOLTZ-Spulen}\end{array}$

Alle rechts stehenden Größen sind messbar, damit die spezifische Ladung experimentell ermittelbar. Die magnetische Flussdichte kann man aus den Abmessungen der HELMHOLTZ-Spulen, ihrer Windungszahl und der Stromstärke in ihnen berechnen oder mit einer HALL-Sonde direkt messen.

Aus der Ablenkung s und dem Abstand zwischen Anode und Leuchtschirm kann man den Radius der Kreisbahn ermitteln (Bild 4). Nach dem Satz von PYTHAGORAS gilt:
$\begin{array}{l}{r}^2=l^2+{(}^r\\ \text{Auflösen der Klammer und Umstellen nach dem Radius}\\ \text{ergibt:}\\ r=\frac{l^2}{2s}+\frac{s}{2}\end{array}$

Kennt man den Radius, so kann man zur Berechnung der spezifischen Ladung die oben genannte Gleichung
$\frac{e}{m}=\frac{2U}{r^2\cdot B^2}$
nutzen. U ist die zwischen Katode und Anode anliegende Beschleunigungsspannung. Die magnetische Flussdichte des Erdmagnetfeldes kann man Tabellen entnehmen oder direkt messen.

Hinweis: Die Ablenkung von Elektronen in elektrischen Feldern ist nicht zur e/m-Bestimmung geeignet, da sie von der spezifischen Ladung unabhängig ist.