Bernoullisches Gesetz

Formulierungen des bernoullischen Gesetzes

Für reibungsfrei strömende Flüssigkeiten und Gase gilt das bernoullische Gesetz, das auch als bernoullische Gleichung bezeichnet wird. Es ist der Energieerhaltungssatz für reibungsfreie Strömungen und besagt:

Statischer Druck ist der senkrecht zur Strömungsrichtung gemessene Druck, der in Bild 1 dargestellt ist. Der Schweredruck ist der infolge der Gewichtskraft der Flüssigkeit entstehende Druck. Er spielt nur dann eine Rolle, wenn eine Strömung nicht horizontal verläuft. Der Staudruck, auch dynamischer Druck genannt, ist derjenige, der in Strömungsrichtung aufgrund der bewegten Flüssigkeit oder des bewegten Gases wirkt.
Das bernoullische Gesetz kann auch in folgender Form geschrieben werden:

Herleitung des bernoullischen Gesetzes

Das bernoullische Gesetz lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz der Mechanik herleiten. Es ist somit legitim, es als Energieerhaltungssatz für reibungsfreie Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen zu bezeichnen.
Zur Herleitung betrachten wir die in Bild 2 dargestellte Strömung eines Volumenelements. Nach dem Energieerhaltungssatz und dem Zusammenhang zwischen Arbeit und Energie folgt für den in Bild 2 dargestellten Fall:

$\begin{array}{l}W=\Delta E_{pot}+\Delta E_{kin}\text{(1)}\\ \text{Die Arbeit}W\text{lässt sich folgendermaßen ausdrücken:}\\ W=F\cdot \Delta s\text{und mit}F=p\cdot A\\ W=p\cdot A\cdot \Delta s\text{oder}\\ W=p\cdot \Delta V\\ \text{Dabei ist}p\text{der Druckunterschied zwischen den beiden}\\ \text{betrachteten Stellen}\text{, sodass man schreiben kann:}\\ W=(p_2-p_1)\Delta V\text{(2)}\\ \text{Für die Änderung der potenziellen Energie ergibt sich:}\\ \Delta E_{pot}=(h_1-h_2)\cdot g\cdot \Delta m\text{(3)}\\ \text{Für die Änderung der kinetischen Energie erhält man:}\\ \Delta E_{kin}=\frac{1}{2}\Delta m(v_1^2-v_2^2)\text{(4)}\\ \text{Setzt man die Terme (2)}\text{, (3) und (4) in (1) ein}\text{,}\\ \text{so erhält man:}\\ (p_2-p_1)\Delta V=(h_1-h_2)\cdot g\cdot \Delta m+\frac{1}{2}\Delta m(v_1^2-v_2^2)\\ \text{Mit}\Delta m=\rho \cdot \Delta V\text{und Division durch}\Delta V\text{ergibt sich:}\\ p_2-p_1=(h_1-h_2)\cdot g\cdot \rho +\frac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)\end{array}$
Löst man die Klammern auf und ordnet die Terme nach den Indizes 1 und 2, so erhält man:

$\begin{array}{l}{p}_1+\rho \cdot g\cdot h_1+\frac{1}{2}\rho \cdot v_1^2=p_2+\rho \cdot g\cdot h_2+\frac{1}{2}\rho \cdot v_2^2\\ \text{oder}\\ p+\rho \cdot g\cdot h+\frac{1}{2}\rho \cdot v^2=\text{konstant}\end{array}$

Verläuft die Strömung horizontal, dann spielt der Schweredruck keine Rolle und es ergibt sich:

Das bedeutet: Bei horizontaler Strömung ist die Summe aus statischem Druck und Staudruck gleich dem Gesamtdruck. Eine Vergrößerung der Strömungsgeschwindigkeit führt zu einer Verkleinerung des statischen Druckes, so wie das in Bild 1 dargestellt ist. Dieser Zusammenhang spielt für praktische Anwendungen eine wichtige Rolle.

Eine andere Anwendung ist der Zerstäuber (Bild 4). Bei einem solchen Zerstäuber strömt Luft durch eine Düse. Die Strömungsgeschwindigkeit ist im Bereich der Düse relativ groß, der statische Druck nach dem bernoullischen Gesetz demzufolge klein. Durch diesen kleinen Druck wird die Flüssigkeit, die sich in einem Gefäß befindet (Bild 3), regelrecht angesaugt. Sie tritt aus einer Öffnung aus und wird durch die schnell strömende Luft zerstäubt.