Addition von Geschwindigkeiten

Addition von Geschwindigkeiten in der relativistischen Physik

Wir betrachten nun ein analoges Beispiel, die Bewegung eines Massepunktes bei hohen Geschwindigkeiten: Ein Bezugssystem S' bewegt sich mit der Geschwindigkeit v gegenüber einem Bezugssystem S in positiver x-Richtung (Bild 2). Der Massepunkt bewegt sich bezüglich des Systems S' mit der Geschwindigkeit u' in der gleichen Richtung.

Mithilfe der LORENTZ-Transformation kann man eine Gleichung für die Geschwindigkeit des Massepunktes bezüglich des Systems S aus den Orts- und Zeitkoordinaten herleiten. Es gilt:
$\begin{array}{l}u=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\text{(1)}\\ \text{Für}\Delta x\text{erhält man mithilfe der Gleichungen für die}\\ \text{LORENTZ-Transformation:}\\ \Delta x=\frac{x_2\text{'}+v\cdot t_2\text{'}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-\frac{x_1\text{'}+v\cdot t_1\text{'}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\ \Delta x=\frac{\Delta x\text{'}+v\cdot \Delta t\text{'}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\text{(2)}\\ \text{Für}\Delta t\text{erhält man mithilfe der Gleichungen für die}\\ \text{LORENTZ-Transformation in analoger Weise:}\\ \Delta t=\frac{\Delta t\text{'}+\frac{v}{c^2}\cdot \Delta x\text{'}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\text{(3)}\end{array}$

Setzt man die rechten Seiten der Gleichungen (2) und (3) in die Gleichung (1) ein, so erhält man:
$\begin{array}{l}u=\frac{\Delta x\text{'}+v\cdot \Delta t\text{'}}{\Delta t\text{'}+\frac{v}{c^2}\cdot \Delta x\text{'}}\\ \text{Dafür kann man auch schreiben:}\\ u=\frac{\frac{\Delta x\text{'}}{\Delta t\text{'}}+v}{1+\frac{v}{c^2}\cdot \frac{\Delta x\text{'}}{\Delta t\text{'}}}\\ \text{Mit}\frac{\Delta x\text{'}}{\Delta t\text{'}}=u\text{'}\text{erhält man:}\\ u=\frac{u\text{'}+v}{1+\frac{v\cdot u\text{'}}{c^2}}\end{array}$

Experimentelle Bestätigung

Eine experimentelle Bestätigung für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten ergab ein Experiment, dass der französiche Physiker ARMAND-HIPPOLYTE-LOUIS FIZEAU 1851 durchgeführt hatte. Er maß mit einer speziell dafür geschaffenen Experimentieranordnung (Bild 3) die Lichtgeschwindigkeit in fließendem Wasser. Der teildurchlässige Spiegel teilt das Licht in einen Strahl, der in Strömungsrichtung verläuft (schwarz gezeichnet) und in einen Strahl, der entgegengesetzt der Strömungsrichtung läuft.
Das experimentelle Ergebnis entspricht dem, was man theoretisch bei Anwendung der relativistischen Addition von Geschwindigkeiten erhält. FIZEAU selbst wendete bei der Auswertung das klassische Gesetz an, musste aber einen nicht so recht erklärlichen Faktor einführen, um Theorie und Praxis in Übereinstimmung zu bringen.