Vietascher Wurzelsatz

Der auf FRANCOIS VIETA (1540 bis 1603) zurückgehende Wurzelsatz (für quadratische Gleichungen) beschreibt eine Beziehung zwischen den Koeffizienten der Normalform der quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ und den Lösungen $x_1$ und $x_2$, und zwar gilt:
$x_1+x_2=-pund{x}_1\cdot x_2=q$

Beweis des vietaschen Wurzelsatzes

Die Beziehung des Wurzelsatzes ergibt sich unmittelbar, wenn man die Lösungen addiert bzw. multipliziert.
Wegen $x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$ und $x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$ ist:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{p}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}+\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\right)\\ =-\frac{p}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}-\frac{p}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\\ =-\frac{p}{2}-\frac{p}{2}=-p\end{array}$

bzw.
$\begin{array}{l}{x}_1\cdot x_2=\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\right)\cdot \left(-\frac{p}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\right)\\ ={\left(-\frac{p}{2}\right)}^2-\left({\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q\right)\\ =\frac{p^2}{4}-\left(\frac{p^2}{4}-q\right)=\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=q\end{array}$

Folgerungen aus dem vietaschen Wurzelsatz

Überprüfung der Korrektheit der Lösungen einer quadratischen Gleichung

Beispiel:
Für die quadratische Gleichung $x^2-\frac{7}{2}x+3=0$ erhält man als Lösungen:
$x_1=2und{x}_2=\frac{3}{2}$
Die Richtigkeit bestätigt man wie folgt:
$x_1+x_2=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}=-pund{x}_1\cdot x_2=2\cdot \frac{3}{2}=3=q$

Aus der Kenntnis einer Lösung (etwa $x_1$) lässt sich die zweite berechnen:
$x_2=\frac{q}{x_1}$

Beispiel:
Für $x^2+\frac{45}{4}x-9=0$ liefert die Lösungsformel $x_1=-12$. Dann folgt:
$x_2=\frac{-9}{-12}=\frac{3}{4}$
Die Probe mittels Wurzelsatz liefert:
$x_1+x_2=-12+\frac{3}{4}=-\frac{48}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{45}{4}$

Anmerkung: Dieses Verfahren zum Berechnen der zweiten Lösung ist für numerisches Rechnen nur bedingt tauglich, wenn eine große Genauigkeit der Ergebnisse gefordert ist. Für kleine Werte der ersten Lösung können nämlich Rundungsfehler auftreten, die die zweite Lösung verfälschen. Es empfiehlt sich deshalb, zuerst die betragsmäßig größere Lösung zu berechnen.