Schlussregeln

In der Mathematik ist es häufig erforderlich, neue Aussagen aus schon vorhandenen Aussagen zu gewinnen oder auch zu zeigen, dass sich eine bestimmte Aussage zwingend aus bereits als wahr erkannten Aussagen ergibt. Hierbei werden sogenannte Schlussregeln angewandt.
Man versteht darunter logische Strukturen, die unabhängig von ihrem Inhalt bei jeder Belegung mit den Wahrheitswerten „wahr“ oder „falsch“ stets zu einer wahren Aussagenverknüpfung führen. Solche Strukturen oder Aussagenverbindungen nennt man logische Identitäten oder auch Tautologien. Die Schlussregeln sind so beschaffen, dass man beim Schließen den Inhalt der Ausgangsaussagen, der Prämissen, gar nicht kennen oder berücksichtigen muss.
Der Beweis für die Richtigkeit der Schlussregeln könnte jeweils mit den Wahrheitswertetafeln für die verschiedenen logischen Operationen geführt werden. Dabei muss man stets alle möglichen Belegungen der Teilaussagen mit „wahr“ (w) und „falsch“ (f) berücksichtigen.
Werden zwei Teilaussagen miteinander verknüpft, so hat die Wahrheitswertetafel $2^2=4$ Zeilen, im Falle der Verknüpfung von drei Teilaussagen sind es $2^3=8$ Zeilen (s. nachstehende Abbildung).

Abtrennungsregel
Wenn unter gegebenen Voraussetzungen die Aussage „Wenn A, so B“ gilt und die Aussage A wahr ist, dann gilt unter diesen Voraussetzungen auch die Aussage B.
Kurzform der Abtrennungsregel : $\left[\left(A\Rightarrow B\right)\wedge A\right]\Rightarrow B$
Beweis (mithilfe der Wahrheitswertetafel):

Beispiel: „ $A\Rightarrow B$: Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl n durch 9 teilbar ist, so ist n auch durch 9 teilbar.“

Gilt diese Implikation (auf deren Beweis hier verzichtet wird), so folgt aus der wahren Aussage „Die Quersumme von 12510 (nämlich 9) ist durch 9 teilbar“ auch die Wahrheit der Aussage „12510 ist durch 9 teilbar“.

Kettenschluss
Wenn unter gegebenen Voraussetzungen die Aussagen „Wenn A, so B“ und „Wenn B, so C“ wahr sind, dann gilt unter diesen Voraussetzungen auch die Aussage „Wenn A, so C“.
Kurzform des Kettenschluss es: $\left[\left(A\Rightarrow B\right)\wedge \left(B\Rightarrow C\right)\right]\Rightarrow \left(A\Rightarrow C\right)$
Beweis (mithilfe der Wahrheitswertetafel):

Beispiel: Gelten für jede natürliche Zahl a die Aussagen „Wenn 18 Teiler von a, so 9 Teiler von a“ und „Wenn 9 Teiler von a, so 3 Teiler von a“, dann ist auch die Aussage „Wenn 18 Teiler von a, so 3 Teiler von a“ für alle $a\in \mathbb{N}$ wahr.

Schluss auf eine Allaussage
Wenn für ein beliebiges a die Aussage $A\left(a\right)$ wahr ist, so ist die Allaussage „Für jedes (alle) x gilt “ $A\left(x\right)$ wahr.
Im Folgenden geben wir ein Beispiel für den Schluss auf eine Allaussage an:

Wenn nachgewiesen ist, dass der Lehrsatz des PYTHAGORAS für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck gilt, dann gilt er für alle rechtwinkligen Dreiecke.

Regel der Kontraposition

Wenn die Aussagenverbindung „Wenn A, so B“ wahr ist, so ist auch „Wenn nicht B, so nicht A“ wahr (und umgekehrt).
Kurzform der Regel der Kontraposition : $\left(A\Rightarrow B\right)\iff \left(\neg B\Rightarrow \neg A\right)$
Beweis (mithilfe der Wahrheitswertetafel):

Beispiel: Falls die Aussage „Wenn zwei Dreiecke zueinander kongruent sind, so sind sie auch einander ähnlich“ wahr ist, so gilt auch:
„Wenn zwei Dreiecke nicht einander ähnlich sind, so sind sie auch nicht zueinander kongruent.“

Manchmal lässt sich die Kontraposition eines Satzes leichter beweisen als der eigentliche Satz. Das ist oft der Fall, wenn die Umkehrung eines Satzes bewiesen werden soll (vgl. das nachfolgende Beispiel zum Äquivalenzschluss).

Regel der Fallunterscheidung

Wenn unter gegebenen Voraussetzungen die Aussage „A oder B“ gilt und zudem die Aussagen „Wenn A, so C“ und „Wenn B, so C“ gültig sind, dann gilt die Aussage C.
Kurzform der Regel der Fallunterscheidung : $\left[\left(A\vee B\right)\wedge \left(A\Rightarrow B\right)\wedge \left(B\Rightarrow C\right)\right]\Rightarrow C$
Der Beweis dieser Regel kann wiederum mithilfe einer Wahrheitswertetafel erfolgen.

Für eine Beweisführung mittels Fallunterscheidung bedeutet das:
Trifft $A\vee B$ zu und kann man zeigen, dass erstens C aus A folgt und zweitens C aus B folgt, so ist C auch einen Folge aus der gesamten Disjunktion.
Analog ist für n Disjunktionen zu verfahren.
Was das im Falle zweier Alternativen bedeutet, soll am Beispiel des folgenden Satzes demonstriert werden:

Wenn eine natürliche Zahl a nicht durch 3 teilbar ist, so lässt deren Quadrat bei Division durch 3 den Rest 1.

Beweis: Die Aussage „Eine natürliche Zahl a ist nicht durch 3 teilbar ist“ gleichbedeutend mit folgender Disjunktion:
„a lässt bei Division durch 3 den Rest 1“ (Aussage A) oder „a lässt bei Division durch 3 den Rest 2“ (Aussage B).

Wenn die Fallunterscheidung A oder B gilt und die Implikationen $A\Rightarrow C$ und $B\Rightarrow C$ wahr sind, dann ist C wahr.

Äquivalenzschluss
Wenn unter gegebenen Voraussetzungen die Aussage „Wenn A, so B“ und auch die Aussage „Wenn B, so A“ wahr ist, so gilt „A genau dann, wenn B“ (und umgekehrt).
Kurzform des Äquivalenzschluss es: $\left[\left(A\Rightarrow B\right)\wedge \left(B\Rightarrow A\right)\right]\iff \left(A\iff B\right)$

Beispiel: Zu beweisen ist: Eine natürliche Zahl a ist genau dann gerade, wenn $a^2$ gerade ist.

Das heißt:
$\begin{array}{l}•A\Rightarrow B\text{:}agerade\Rightarrow a^{2}gerade\\ •B\Rightarrow A\text{:}{\text{a}}^{\text{2}}gerade\Rightarrow agerade\end{array}$
Es sind also zwei Beweise zu führen.
Beweis für $A\Rightarrow B$:
a ist eine gerade Zahl, d.h. $a=2x\left(x\in \mathbb{N}\right)$. Dann folgt
$a^2=2x\cdot 2x=2\cdot 2x^2$,
wobei $2x^2$ wieder eine natürliche Zahl und damit $a^2=2\cdot 2x^2$ eine gerade natürliche Zahl ist.
Beweis für $B\Rightarrow A$ (über die Kontraposition $\neg A\Rightarrow \neg B$):
$\neg A\text{:}\text{a}\text{ist}\text{ungerade}$, d.h. $a=2n+1\left(n\in \mathbb{N}\right)$. Daraus folgt
$a^2={\left(2n+1\right)}^2=4n^2+4n+1=2\left(2n^2+2n\right)+1$,
also ist $a^2$ eine ungerade natürliche Zahl $\left(\neg B\right)$.
w. z. b. w.
Sowohl $A\Rightarrow B$ als auch $B\Rightarrow A$ (hier als Kontraposition ) $\neg A\Rightarrow \neg B$ sind wahre Aussagen. Damit gilt dies auch für die Äquivalenz $A\iff B$.

Weitere Beispiele für Äquivalenzen (bzw. Tautologien) wären die oben angeführte Regel der Kontraposition, die nachfolgende Aussage zur doppelten Verneinung sowie
$\left(A\Rightarrow B\right)\iff \left(\neg A\right)\vee B\left(A\vee \left(A\wedge B\right)\right)\iff B$
Beweise (mithilfe der Wahrheitswertetafel):

Beispiel: Es ist die Aussage „A: Die Geraden mit den Gleichungen $g_1\text{:}y=2x+3$ und $g_2\text{:}y=2x-4$ schneiden einander“ zu überprüfen.

Wenn die beiden Geraden einen Schnittpunkt $S\left(x_S;y_S\right)$ besitzen sollen, so müssen dessen Koordinaten beide Gleichungen erfüllen. Das heißt, das folgende Gleichungssystem
muss genau eine Lösung $\left(x_S;y_S\right)$ haben:
$\begin{array}{c}(I)y_S=2x_S+3\\ (II)y_S=2x_S-4\end{array}$
Da aber beispielsweise die Umformung $(I)-(II)$ zu dem Widerspruch $0=7$ führt, besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. Die Aussage A ist also falsch und nach obiger Regel die Aussage „ $\neg A$: Die Geraden mit den Gleichungen $g_1\text{:}y=2x+3$ und $g_2\text{:}y=2x-4$ schneiden einander nicht“ demzufolge wahr.