Quadratische Funktionen

Nimmt man vereinfachend an, dass ein Bungee-Springer in der ersten Phase nach seinem Absprung aus h 0 Meter Höhe frei fällt, so würde er sich entsprechend den Gesetzen der Physik nach t Sekunden in einer Höhe
h = h 0 g 2 t 2 ( g = 9,81 m s 2 )
über der Erdoberfläche befinden.
Die Gleichung
h ( t ) = h 0 g 2 t 2
beschreibt eine spezielle quadratische Funktion.

Definition: 
Eine Funktion mit einer Gleichung der Form

y = f ( x ) = a x 2 + b x + c ( mit  a 0, x )

oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion
( a x 2 nennt man das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung).

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel (quadratische Parabel). Die Symmetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y-Achse und schneidet den Graphen der Funktion im Scheitelpunkt (Scheitel) der Parabel.
Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet (Bild 1).

Für a > 0 besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt (einen Minimumpunkt) und für a < 0 einen höchsten Punkt (einen Maximumpunkt). Diese Punkte sind jeweils Scheitelpunkt der Parabel.

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen mit a = 1. Man erhält
y = f ( x ) = x 2 + b x + c
bzw. durch Umbenennung
y = f ( x ) = x 2 + p x + q ( m i t p , q )
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Graphen der entsprechenden quadratischen Funktionen zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Parabel nach oben bzw. nach unten geöffnet

Parabel nach oben bzw. nach unten geöffnet

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion f ( x ) = x 2 . Ihr Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, ihr Wertebereich die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen. Der Graph dieser Funktion wird Normalparabel genannt (Bild 2). Ihre Symmetrieachse ist die y-Achse; der Scheitel hat die Koordinaten (0; 0). Aufgrund der im Funktionsterm auszuführenden Operation (Quadrieren) ist die Funktion f ( x ) = x 2 für alle x 0 streng monoton fallend und für alle x 0 streng monoton wachsend sowie nach unten beschränkt.

Normalparabel

Normalparabel

Fall 2: p = 0; q 0
Es ergibt sich die Gleichung f ( x ) = x 2 + q mit q , z. B. also
y = f 1 ( x ) = x 2 + 1 oder y = f 2 ( x ) = x 2 4 .
Im Vergleich zum zuvor betrachteten Fall erhält man die Funktionswerte der jeweiligen Funktion, indem man zum entsprechenden Funktionswert von f ( x ) = x 2 die Zahl 1 addiert bzw. von diesem 4 subtrahiert (allgemein: q addiert).
Das heißt geometrisch: Der Graph der Funktionen f ( x ) = x 2 + q ist eine um | q | Einheiten in Richtung der positiven (für q > 0) bzw. negativen y-Achse (für q < 0) verschobene Normalparabel mit der y-Achse als Symmetrieachse (Bild 3) und dem Scheitel (0; q).

Fall 3: p 0, q = 0
Man erhält die Gleichung f ( x ) = x 2 + p x mit p , zum Beispiel also y = f ( x ) = x 2 + 2 x .

Normalparabel mit y-Achse als Symmetrieachse

Normalparabel mit y-Achse als Symmetrieachse

Um mit den vorangegangenen Fällen vergleichen zu können, liegt es nahe, die Summe im Funktionsterm in ein vollständiges Quadrat umzuwandeln. Das ist mithilfe der quadratischen Ergänzung möglich:
f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 1 = ( x + 1 ) 2 1
Die Funktionsgleichung erreicht damit die Gestalt f ( x ) = ( x + d ) 2 + e .
Der Einfluss des Summanden e auf den Graphen der Funktion ist bekannt (siehe Fall 2).
Anhand der Funktionsgleichungen h ( x ) = x 2 und f ( x ) = ( x + d ) 2 erkennt man:
Der Funktionswert, den die Funktion h ( x ) = x 2 an einer beliebigen Stelle x annimmt, ist gleich dem Funktionswert von
f ( x ) = ( x + d ) 2 an der Stelle x – d, denn
f ( x d ) = [ ( x d ) + d ] 2 = x 2 = h ( x ) .
Also: Der Graph der Funktion y = f ( x ) = ( x + d ) 2 ist die um | d | Einheiten in Richtung der positiven (falls d < 0) oder der negativen x-Achse (falls d > 0) verschobene Normalparabel.
In Bezug auf das betrachtete Beispiel y = f ( x ) = x 2 + 2 x bzw. y = f ( x ) = ( x + 1 ) 2 – 1 bedeutet das: Der Graph der Funktion ist die um je eine Einheit in Richtung der negativen x- und y-Achse verschobene Normalparabel (Bild 4); der Scheitelpunkt ist
S(–1; –1).


Fall 4: p 0; q 0
Man erhält die Gleichung y = f ( x ) = x 2 + p x + q mit p , q . Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann diese wieder in die Struktur y = f ( x ) = ( x + d ) 2 + e überführt werden, aus der sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S(–d; e) unmittelbar ablesen lassen (siehe Fall 3).

Normalparabel mit S (–1; –1)

Normalparabel mit S (–1; –1)

Man spricht deshalb auch von der Scheitelpunktsform der Gleichung einer quadratischen Funktion. Bei der Umformung geht man in folgenden Schritten vor (Bild 5):

Beispiel:    Allgemeiner Fall:
g ( x ) = x 2 + 5 x + 7 = x 2 + 5 x + ( 5 2 ) 2 ( 5 2 ) 2 + 7 = ( x + 5 2 ) 2 + 3 4 , f ( x ) = x 2 + p x + q = x 2 + p x + ( p 2 ) 2 ( p 2 ) 2 + q = ( x + p 2 ) 2 + [ ( p 2 ) 2 + q ] ,
also d = 5 2 ; e = 3 4 und damit S ( 5 2 ; 3 4 ) . also d = p 2 ; e = ( p 2 ) 2 + q und
damit S ( p 2 ; ( p 2 ) 2 + q ) .

Das heißt: Die Koordinaten des Scheitelpunktes kann man unmittelbar aus p und q erhalten, ohne die Scheitelpunktsform zu erzeugen.
Führt man für ( p 2 ) 2 q = p 2 4 q die Abkürzung D ein, so erhält man für die Koordinaten des Scheitelpunktes S ( p 2 ; D ) bzw. S ( p 2 ; ( p 2 4 q ) ) . D nennt man Diskriminante der quadratischen Funktion.

Normalparabel mit S (–2,5; 0,75)

Normalparabel mit S (–2,5; 0,75)

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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