Quadratische Ergänzung

Die quadratische Gleichung der Form ${\text{x}}^{\text{2}}+\text{p}\text{x}+\text{q}=\text{0}\left(\text{p}\text{,}\text{q}\in ℝ\right)$ heißt Normalform der quadratischen Gleichung.
Sie entsteht, indem die quadratische Gleichung der allgemeinen Form
$\text{a}{\text{x}}^{\text{2}}+\text{b}\text{x}+\text{c}=\text{0}\left(\text{a}\text{,}\text{b}\text{,}\text{c}\in ℝ\text{ und }\text{a}\ne \text{0}\right)$
durch die Zahl a $\left(\text{a}\ne \text{0}\right)$ dividiert wird.

Quadratische Gleichungen der Normalform lassen sich mithilfe der Lösungsformel lösen.
In einigen Fällen lassen sich die Lösungen bereits mithilfe der binomischen Formeln und der quadratischen Ergänzung bestimmen.

Beispiel 1:
$\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}+\text{10}\text{x}+\text{25}=\text{0}|\text{1}\text{.}\text{binomische}\text{Formel}\left[{\text{a}}^{\text{2}}+\text{2}\text{ab}+{\text{b}}^{\text{2}}={\left(\text{a}+\text{b}\right)}^{\text{2}}\right]\\ {\left(\text{x}+\text{5}\right)}^{\text{2}}=\text{0}\\ \left(\text{x}+5\right)\left(\text{x}+\text{5}\right)=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1}}+\text{5}=\text{0}{\text{x}}_{\text{2}}+\text{5}=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1}}=-5{\text{x}}_{\text{2}}=-\text{5}\\ L=\left\{-5\right\}\end{array}$

Die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen lässt sich genau dann in dieser Form bestimmen, wenn die Summe auf der linken Seite der quadratischen Gleichung mithilfe der binomischen Formeln in ein Produkt umgeformt werden kann, dessen Wert gleich null ist.

Ist dies nicht der Fall, kann man mithilfe der quadratischen Ergänzung die Gleichung so ergänzen, dass sich die (linke Seite der) Gleichung in ein Produkt umformen lässt.

Beispiel 2:
$\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}+\text{10}\text{x}-\text{11}=\text{0}|+\text{11}\\ {\text{x}}^{\text{2}}+\text{10}x=11|\text{+}\text{25}\\ {\text{x}}^{\text{2}}+\text{10x}+\text{25}\text{=}\text{36}|\text{1}\text{.}\text{binomische}\text{Formel}\\ {\left(\text{x}+\text{5}\right)}^{\text{2}}=\text{36}|-36\\ {\left(\text{x}+\text{5}\right)}^{\text{2}}-36=0|\text{3}\text{.}\text{binomische}\text{Formel}\left[{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\ \left[\left({\text{x}}_{\text{1}}+\text{5}\right)+\text{6}\right]=\text{0}oder\left[\left({\text{x}}_{\text{2}}+\text{5}\right)-\text{6}\right]=\text{0}\\ \left({\text{x}}_{\text{1}}+\text{5}\right)+6=0\left({\text{x}}_{\text{2}}+\text{5}\right)-6=0\\ {\text{x}}_{\text{1}}+11=0{\text{x}}_{\text{2}}-\text{1}=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1}}=-11{\text{x}}_{\text{2}}=\text{1}\end{array}$

Im Beispiel 2 wurde in der Gleichung eine Quadratzahl (hier: 25) so ergänzt, dass sich die linke Seite anschließend in ein Produkt umwandeln ließ.
Diese gesuchte Quadratzahl wird quadratische Ergänzung genannt.
Die quadratische Ergänzung zu $x^2+px$ wird bestimmt, indem man den Faktor p des linearen Gliedes halbiert und das Quadrat dieser Zahl bildet.

Beispiel 3:
$\begin{array}{l}{x}^2+18x\text{p}=\text{18;}\frac{\text{p}}{\text{2}}=\text{9;}{\left(\frac{\text{p}}{\text{2}}\right)}^{\text{2}}=\text{81}\\ x^2+18x+81\\ {\left(\text{x}+\text{9}\right)}^{\text{2}}\end{array}$

Bei einer Gleichung muss die ergänzte Quadratzahl wieder subtrahiert werden.