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- 8 Stereometrie
- 8.9 Regelmäßige Polyeder
- 8.9.0 Regelmäßige Polyeder
- Platonische Körper
Platonische Körper
Unter den Vielflächnern (Polyedern) spielen diejenigen, die nur von regelmäßigen untereinander kongruenten Vielecken (n-Ecken) begrenzt sind, eine besondere Rolle. Diese regelmäßigen (regulären) Polyeder werden nach dem griechischen Philosophen PLATON (427 bis 347 v. Chr.) als platonische Körper bzw. als kosmische Körper bezeichnet.
Es lässt sich leicht überlegen, dass es nur fünf derartige regelmäßige Körper geben kann. Da die Summe der Innenwinkel der in einer räumlichen Ecke zusammenstoßenden n-Ecke kleiner als 360° sein muss und eine Ecke von mindestens drei Flächen gebildet werden muss, gibt es nur die folgenden Möglichkeiten:
| Begrenzungs- flächen | Innenwinkel- größe | Flächen in einer Ecke | Körper |
| gleichseitige Dreiecke | 60° | 3 | Tetraeder (Vierflächner) |
| 4 | Oktaeder (Achtflächner) | ||
| 5 | Ikosaeder (Zwanzigflächner) | ||
| Quadrate | 90° | 3 | Hexaeder (Sechsflächner; Würfel) |
| regelmäßige Fünfecke | 108° | 3 | Dodekaeder (Zwölfflächner) |
Im Folgenden sind die platonischen Körper und ihre Netze dargestellt:
LEONHARD EULER (1707 bis 1783) hat eine Beziehung zwischen der Anzahl der Ecken e, der Anzahl der Flächen f und der Anzahl der Kanten k bewiesen.
Für die platonischen Körper gilt:
(eulerscher Polyedersatz)
| Körper | Anzahl der Ecken e | Anzahl der Flächen f | Anzahl der Kanten k |
| Tetraeder | 4 | 4 | 6 |
| Hexaeder (Würfel) | 8 | 6 | 12 |
| Oktaeder | 6 | 8 | 12 |
| Dodekaeder | 20 | 12 | 30 |
| Ikosaeder | 12 | 20 | 30 |
Es fällt auf, dass die Werte von e und f zwischen Würfel und Oktaeder bzw. zwischen Ikosaeder und Dodekaeder (mitunter auch Pentagondodekaeder genannt) vertauscht sind (und die entsprechende Kantenzahl damit gleich ist). Man spricht von zueinander dualen Körpern. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.
Verbindet man die Flächenmittelpunkte benachbarter Flächen eines regelmäßigen Polyeders miteinander, so erhält man das Kantenmodell des entsprechend dualen Körpers.
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