Permutationen

Das Problem, n Objekte (Personen, Gegenstände, Zahlen o. Ä.) in einer Reihe anzuordnen, d. h., sie auf n Plätze zu verteilen, führt zum Begriff der Permutation.

Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden, heißt Permutation $P_n$ dieser Elemente.

Man unterscheidet Permutationen ohne Wiederholung (der Elemente) und Permutationen mit Wiederholung (der Elemente).

Treten bei Anordnungen Elemente mehrfach auf, so spricht man von Anordnungen mit Wiederholung. Im Vergleich zu dem Fall, dass alle Elemente voneinander verschieden sind, verringert sich die Zahl der mögliche Anordnungen.

Für die Anzahl der Permutationen von n Elementen mit Wiederholung (d. h., von n Elementen von denen je ${\alpha }_1,{\alpha }_2\mathrm{...}{\alpha }_r$untereinander gleich sind (wobei ${\alpha }_1+{\alpha }_2+\mathrm{...}+{\alpha }_r=n$ ist) gilt:
$P_w{}_n=\frac{n!}{{\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\cdot \mathrm{...}\cdot {\alpha }_r!}$

Beispiel 3:
Aus den vier Elementen der Menge $\left\{a;a;b;b\right\}$ lassen sich $\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{24}{2\cdot 2}=6$ verschiedene Permutationen bilden, und zwar:
$aabbabababbabaabbababbaa$

Bei Permutationen werden alle zur Verfügung stehenden Elemente angeordnet. Werden dagegen nur k der n Elemente angeordnet, d. h. wird eine Auswahl vorgenommen, so führt das zu Variationen bzw. Kombinationen.