Nichteuklidische Geometrie

Geometrien in der Übersicht

Geometrie ist ein Gebiet der Mathematik, das bei Punktmengen (z. B. auf und zwischen Linien und Flächen) Gesetzmäßigkeiten der Lage, Größe und Gestalt einschließlich ihrer Veränderung sowie Abbildung betrachtet. Je nachdem, ob metrische Beziehungen (Länge, Winkelgrößen, Flächen, Rauminhalte) untersucht werden oder ob nur die gegenseitige Lage der Objekte betrachtet wird, spricht man von metrischer oder projektiver Geometrie.
Metrische Geometrien sind die euklidische Geometrie, die auf dem Parallelenaxiom aufgebaut ist, und die nichteuklidischen Geometrien, wie die bolay-lobatschewskische (hyperbolische) Geometrie, die zwar alle Axiome der euklidischen Geometrie beibehält, aber das Parallelenaxiom nicht verwendet, und die riemannsche (elliptische) Geometrie, die zusätzlich von der Annahme ausgeht, dass nicht jede Gerade unendlich lang ist. Die projektive Geometrie kann diese drei Geometrien als Sonderformen einer allgemeinen Maß-Geometrie entwickeln.

Zur Entstehung nichteuklidischer Geometrien

Rund 2000 Jahre bestand die Auffassung von der Allgemeingültigkeit der euklidischen Geometrie u. a. zur Beschreibung des realen physikalischen Raumes. Dann aber führte die zunehmende Kritik an dieser Auffassung zu zwei wichtigen Entdeckungen:

1. Die Kritik an der Trennung von Geometrie und Arithmetik durch EUKLID, führte zur Schaffung des Begriffs der reellen Zahl, mit deren Hilfe nicht nur kommensurable, sondern auch inkommensurable Größen charakterisiert werden konnten. Der Ausgangspunkt für das Entstehen einer Mathematik stetig veränderlicher Größen war gelegt. Auf diesem Gebiet wirkten unter anderem RENÉ DESCARTES und CARL FRIEDRICH GAUSS.
2. Die Kritik an einzelnen Postulaten, insbesondere dem fünften (Parallelenpostulat), führte zur Entwicklung weiterer nicht im Widerspruch zur Realität stehender Geometrien - den nichteuklidischen Geometrien (durch LOBATSCHEWSKI, BOLYAI, GAUSS bzw. RIEMANN), was den Übergang von einer Mathematik der konstanten Beziehungen zu einer der veränderlichen Beziehungen bedeutete.

So wurde das Parallelenaxiom durch seine gegenteilige Aussage ersetzt:
„In einer Ebene kann man durch jeden Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden mehr als eine Gerade legen, die die gegebene Gerade nicht schneidet“.
Diese Geometrie erwies sich als ebenso widerspruchsfrei wie die euklid-hilbertsche Geometrie.
Wenn viele Geometrien möglich sind, kann es keine allgemeine Definition der Grundbegriffe geben. Das Bemühen (von EUKLID und anderen) Grundbegriffe zu definieren, ist damit prinzipiell unmöglich. Grundbegriffe beziehen sich also nur auf das betrachtete System.

Welche Geometrie ist aber in der Wirklichkeit gültig?

Die Feststellung, dass die euklidische Geometrie ein Modell des wirklichen Raumes unserer Anschauung ist, beantwortet diese Frage nicht. In Experimenten in kleinen Bereichen der Erdoberfläche kann die Voraussetzung gelten, dass die Oberfläche eine Ebene ist. Sind es dagegen Experimente in großen Bereichen, muss man sich die Oberfläche ja gekrümmt oder als Kugel vorstellen. Entsprechend unterscheiden sich die nichteuklidischen Geometrien in kleinen Bereichen fast nicht von der euklidischen Geometrie. Der Unterschied zeigt sich erst in großen Raumbereichen. Diese Frage nach den geometrischen Strukturen der realen Welt führte in den Naturwissenschaften zu neuen Entdeckungen und Entwicklungen wie z. B. der Relativitätstheorie durch EINSTEIN, welche radikal mit gewohnten geometrischen Vorstellungen brachen.