Neunerprobe

Bei der Division durch 9 sind neun verschiedene Reste (0, 1, 2, ..., 8) möglich. Da für zwei kongruente Zahlen $a_1$ und $a_2$ mit $a_1\equiv r_1$ mod b und $a_2\equiv r_2$ mod b die Beziehung $a_1+a_2\equiv r_1+r_2$ mod b gilt, ist der Neunerrest einer Summe gleich der Summe der Neunerreste der Summanden. Man braucht also nur die Reste mod 9 zu untersuchen.
Stimmen die Reste nicht überein, so ist die Rechnung mit Sicherheit falsch. Bei übereinstimmenden Resten ist die Richtigkeit des Resultates zwar nicht sicher, aber wahrscheinlich.

Die Neunerprobe kann auch bei der Subtraktion, Multiplikation und Division angewandt werden.

• Aufgabe: 32 + 56 = 88
  Es gilt 32 $\equiv$5, 56 $\equiv$2 und 88 $\equiv$7 mod 9.
  Da 5 + 2 = 7, ist die Bedingung erfüllt.
   
• Aufgabe: 456 + 739 + 481 + 603
  Jemand gibt als Ergebnis 2179 an.
  Neunerprobe:
  456 $\equiv$6, 739 $\equiv$1, 481 $\equiv$4, 603 $\equiv$0 und 2179 $\equiv$1 mod 9
  Es gilt nun aber 6 + 1 + 4 + 0 $\equiv$2 und damit 2 nicht kongruent 1 mod 9.
  Das Ergebnis ist also falsch, richtig ist 2279.
   
• Wenn jemand bei der obigen Aufgabe: 456 + 739 + 481 + 603 als Ergebnis den falschen Wert 2306 angibt (630 statt 603 addiert), ergibt sich folgende Neunerprobe:
  456 $\equiv$6, 739 $\equiv$1, 481 $\equiv$4, 603 $\equiv$0 und 2306 $\equiv$2 mod 9
  Probe: 6 + 1 + 4 + 0 $\equiv$ 2
  Obwohl das Ergebnis falsch ist, zeigt dies die Neunerpobe nicht an!

Zahlendreher (z. B. 630 statt 603) werden durch die Neunerprobe nicht erfasst, weil die Differenz der verdrehten Zahlen stets durch 9 teilbar ist.
Beweis:
In $z=a_n{10}^n+\mathrm{...}+x{10}^x+\mathrm{...}y{10}^y+a_{1}10+a_0$ werden die Ziffern x und y vertauscht.
Man erhält $u=a_n{10}^n+\mathrm{...}+y{10}^x+\mathrm{...}x{10}^y+a_{1}10+a_0$.
Es gilt nun $z\equiv a_n+\mathrm{...}+x+y+a_1+a_0$mod 9
und $u\equiv a_n+\mathrm{...}+y+x+a_1+a_0$ mod 9.
Daraus folgt z – u $\equiv$ 0 mod 9, d. h., die Differenz der verdrehten Zahlen ist durch 9 teilbar. Wenn also bei Abstimmungen Differenzen auftauchen, die durch 9 teilbar sind, sollte man nach Zahlendrehern suchen.