Mittelwerte

Unter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zahlen wird meist das arithmetische Mittel (bzw. der Durchschnitt) verstanden. Darüber hinaus sind allerdings mit dem geometrischen und dem harmonischen Mittel noch weitere Mittelbildungen möglich.

Arithmetisches Mittel

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Unter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zahlen wird meist das arithmetische Mittel verstanden. Darüber hinaus sind allerdings mit dem geometrischen und dem harmonischen Mittel noch weitere Mittelbildungen möglich.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel (bzw. der Durchschnitt) $\bar{x}$ einer Menge von Werten $x_{1}, x_{2} ... x_{n}$ ist gleich der Summe aller dieser Werte geteilt durch deren Anzahl n:
$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}}{n}$
bzw. unter Verwendung der Schreibweise mit dem Summenzeichen
$\bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$
Das arithmetische Mittel zweier Zahlen a und b ist folglich die Hälfte ihrer Summe:
$\bar{x} = \frac{a + b}{2}$

Beispiel:
Das arithmetische Mittel der Zahlen 4 und 9 ist 6,5.

Bei (physikalischen) Messungen kann man die Genauigkeit dadurch erhöhen, dass die entsprechende Größe mehrmals gemessen und dann der Durchschnitt der Messwerte gebildet wird. Dadurch kann man auch zu Abschätzungen für Messfehler kommen.

Geometisches Mittel

Das geometrische Mittel g einer Menge positiver Werte $x_{1}, x_{2} ... x_{n}$ ist gleich der n-ten Wurzel aus dem Produkt dieser Werte:
$g = \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{n}}$
Das geometrische Mittel g zweier positiver Zahlen a und b ist somit die (Quadrat-)Wurzel aus ihrem Produkt:
$g = \sqrt{a \cdot b}$

Beispiele:

Das geometrische Mittel der Zahlen 4 und 9 ist 6.
Im rechtwinkligen Dreieck ist (nach dem Höhensatz) die zur Hypotenuse gehörende Höhe h das geometrische Mittel der Hypotenusenabschnitt p und q, d. h., es gilt:
$h = \sqrt{p \cdot q}$

Das geometrische Mittel zweier positiver reeller Zahlen a und b ist stets kleiner als deren arithmetisches Mittel, d. h., es gilt:
$\sqrt{a \cdot b} < \frac{a + b}{2} (a, b \in ℝ; a, b > 0)$
Dies lässt sich leicht zeigen: Aus obiger Ungleichung folgt über
$\begin{array}{l} 2 \sqrt{a \cdot b} < a + b \\ 4 a b < {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \\ 0 < a^{2} - 2 a b + b^{2} \end{array}$
mit $0 < {(a - b)}^{2}$ eine wahre Aussage.

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel h einer Menge positiver Werte $x_{1}, x_{2} ... x_{n}$ ist gleich deren Anzahl n geteilt durch die Summe der Reziproken dieser Werte:
$h = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + ... + \frac{1}{x_{n}}}$
Das harmonische Mittel h zweier positiver Zahlen a und b ist demzufolge:
$h = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2 a b}{a + b}$

Beispiel:
Das harmonische Mittel der Zahlen 4 und 9 ist $\frac{72}{4 + 9} = \frac{72}{13} \approx 5,54$ .

Für das arithmetische Mittel $\bar{x}$ , das geometrische Mittel g und das harmonische Mittel positiver reeller Zahlen gilt allgemein:
$h < g < \bar{x}$
bzw. (im Fall zweier positiver reeller Zahlen a und b) speziell:
$\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a \cdot b} < \frac{a + b}{2}$
(Die Richtigkeit lässt sich durch Nachrechnen leicht bestätigen.)

Beispiel:
Für die drei Zahlen 5, 8 und 11 ist
$h = \frac{3}{\frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{11}} \approx 7,21; g = \sqrt[3]{5 \cdot 8 \cdot 11} \approx 7,61; \bar{x} = \frac{5 + 8 + 11}{3} = 8$
und somit gilt die Beziehung $h < g < \bar{x}$ .

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