Heronsche Flächenformel

HERON VON ALEXANDRIA lebte etwa Ende des 1. Jh. in Alexandria. Er war ein äußerst vielseitiger Mathematiker und Physiker, der eine praktische Ausrichtung der Mathematik im Sinne PLATONs betrieb und somit eine zu EUKLID gegensätzliche Auffassung vertrat.
Besonders populär war die „Geometrica“, eine Zusammenstellung von Formeln und Aufgaben.
Bei HERON findet man die folgende Formel für die Berechnung eines Dreiecks aus dessen Seitenlängen :
Seien a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks so gilt:
$A=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$(heronsche Dreiecksformel),
wobei s der halbe Dreiecksumfang ist.
$s=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$
Den Beweis beschreibt HERON in seiner „Metrica“ und er gelingt durch zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras und unter Verwendung der binomischen Formeln.
Nach arabischen Quellen stammt die Formel aber von ARCHIMEDES.

Überliefert ist, dass HERON sich bei seinen Zuhörern dafür entschuldigte, dass er vier Faktoren miteinander multiplizierte, da dies in unserem Anschauungsraum nicht interpretierbar sei. Es war Regel, dass arithmetische Aussagen geometrisch interpretiert werden mussten.

Mit Blick auf die heronsche Dreiecksformel ergibt sich für gleichschenklige Dreiecke:
$s=a+\frac{c}{2}s-a=\frac{c}{2}s-\frac{c}{2}=a-\frac{c}{2},also$ $A=\frac{c}{4}\cdot \sqrt{4a^2-c^2}$

Nach der heronschen Formel für ein gleichseitiges Dreieck gilt:
$s=\frac{3}{2}\cdot as-a=s-b=s-c=\frac{1}{2}a$ und damit $A=\frac{1}{4}{a}^2\cdot \sqrt{3}$