Gleichungen, Inhaltliches Lösen

Das Lösen von Gleichungen (Ungleichungen) gelingt oftmals durch einfache Überlegungen ohne Anwendung formaler Regeln. Man spricht vom inhaltlichen Lösen einer Gleichung (Ungleichung) im Unterschied zum kalkülmäßigen Lösen (Anwenden von Lösungsverfahren).

Zu den Verfahren des inhaltlichen Lösens einer Gleichung (Ungleichung) zählt man im Allgemeinen das Zerlegen von Termen, das Einsetzen bzw. das systematische Probieren, das Rückwärtsschließen und das Schließen unter Benutzung von Veranschaulichung.

Zerlegen von Termen und Zahlen

Durch Zerlegen von Zahlen und Termen in Summen, Produkte oder Differenzen kann man die Lösungen durch Vergleichen der Termbestandteile finden.

Beispiele:
$\begin{array}{l}2x+15=2511\cdot \left(x+\mathrm{1,5}\right)=44\frac{x}{2}-2=10\\ 10+15=2511\cdot 4=4412-2=10\\ \\ 2\cdot x=10x+\mathrm{1,5}=4\frac{x}{2}=12\\ x=5x=\mathrm{2,5}x=24\end{array}$

Einsetzen bzw. systematisches Probieren

Man setzt nacheinander verschiedene Zahlen aus dem Grundbereich in die Gleichung (Ungleichung) ein und prüft, ob man eine wahre Aussage erhält. Günstig ist dabei das Anlegen einer Tabelle.

Beispiel:

Rückwärtsschließen

Oft ist ein Vorgehen günstiger, bei dem man die Gleichung gewissermaßen von rückwärts her betrachtet. Dabei werden, beginnend mit dem Ergebnis, die Umkehroperationen schrittweise rückwärts angewendet.

Beispiele:

Schließen unter Benutzung von Veranschaulichungen

Viele mathematische Sachverhalte lassen sich zeichnerisch darstellen. Mithilfe von Skizzen, Fließschemata oder einfachen symbolhaften Darstellungen lassen sich Lösungen finden. Die Überprüfung der Richtigkeit erfolgt dann an der jeweiligen Gleichung.

Beispiele: